210 Notizen. 



wo — absolut kleiner als 1 und doch x absolut klein genug sein 

 soll, nm die Entwicklung von f(lx) nach steigenden Potenzen 

 von t zu gestatten , während nach fallenden Potenzen von 



l zu entwickeln ist. Da ax = — . ix , so ist klar, dass unter 



diesen Bedingungen die Entwicklung von f{ax) nach steigenden 

 Potenzen von x möglich ist. 



Es sei nun z'^=ii+x^, x beliebig, aber absolut kleiner 

 als 1 oder überhaupt immer klein genug, und z sei dadurch 

 bestimmt , dass es mit Bewahrung der Gontinuität zu 1 wird, 

 wenn x verschwindet; und wir wollen {z -\- x)"\ wo der Ex- 

 ponent m beliebig ist, aber die Bedeutung der Function da- 

 durch bestimmt wird , dass sie für ein verschwindendes x con- 

 tinuirlich zu 1 werden soll, nach steigenden Potenzen von x 



entwickeln. 



m 



Da {z + x)^—i-\-2x{z+x), so ist (z + jj)"' = (H-2a;[z4-a;J) ^ 



in 



und wenn wir in (1) a = z + x, f{u)=:{i +2«)^ wo u absolut 



kleiner als - sein muss , setzen, so folgt 



m 



[z + xr = [t'^\- {i+2tx)^, 



^ ' l — z — x^ 



und wenn wir hier x, t resp. in — x, — l umwandeln, 



m 



(z - xY' = [(0| ^— (1 + 2lx)^. 



^ ' '■ H + z—x^ ' 



Um rechts das irrationale z ausserhalb der Entwicklung zu 



bringen, wollen wir diese zwei Formeln addiren und subtra- 



hiren, aber im ersten Fall links u°' durch u.u ersetzen. 



Wir erhalten so 



m — l 



(z-f-a^r + (z-a;r = [(0|(f-^±^ + -i=:^)(l+2<a:) ' , 



^ ' "^ ^ ■' ■■ ' \l — Z — X l-\-Z — XI^ ' 



m 



