Notizen. 325 



— I < j'< 1 niemals seine positive oilor negative Bcschaireniicil 

 wechseln; denn dieser Polynon» enlhiill nur llieils (juadralisciie, 

 theils paarweise conjugirle , iheils solche lineare Facloren, die 

 in diesem Intervall nicht verschwinden können. Und doch 



'f.. 



niüsste die Gleichung I PA'„r/a;=:0 Statt finden, wenn der 



Grad von /* niedriger als n wäre. Also ist P notliwendig vom 

 7iten Grade und daher Q^= l. D. h. die Gleichung A'„ = hat 

 lauter reelle und ungleiche Wurzeln, die zwischen — 1 und 1 

 liegen. 



Es sei nun Y eine ganze Function (2n— l)len Grades 



inn soll I Yd 



von X. und man soll I Ydx berechnen. Man setze, um als 

 höchstes Glied x" mit dem Coeflicicnten 1 zu haben. 



_ ^ r_ ia "^" - ^> ('^ - '^) ^" - ^) ■••-• ^"--1^ tlL ^»-2-1 



■~ =0 2.l.6...2Ax(2n— 1)(2/» — 3)..,(2n— 2X + 1) ' 



und es sciZ=(vC — a) [x — b) {x— c) . . . {x — f), so werden 

 a, b, c, . . . f sämmtlich reell, absolut kleiner als 1, und paar- 

 weise gleich und entgegengesetzt sein, mit Ausnahme der Null, 

 die darunter sich findet, wenn n ungerade ist. Nun dividire 

 man Y durch Z, der Quotient sei Q, der Rest V, so wird Q 

 vom (n — l)len Grade und F höchstens von diesem Grade sein, 

 und man wird I' = QZ + F haben. Da aber die Function Z 



die Eigenschaft hat, dass I QZdx = {) ist, so folgt! Ydx = 



J-1 



Vax. Und wenn A, U, C, . . . F die n Wcrthc bedeuten, 



welche Y (also auch F) für a; = a, 6, ... /"erhalt, so weiss man 

 aus der Lehre von der Zcrfällung eines rationalen Bruchs in 

 Partialbrliche, dass 



