Notizen. 331 



<b — IC absolut <a + r ist. (Da b- + c^ => a^ — r^, so liegt der 

 absolute Wcrlb von b + ic zugicicb mit demjenigen von b — ic 

 entweder ausserhalb der absoluten Werlho von a + r und a — r 

 oder zwischen denselben). Sind z. B. b — ic und b + ic ein- 

 ander absolut gleich , so ist klar , dass nothwendig der zweite 



r- 

 Fall eintritt, wenn nur nicht -y negativ ist. 



5. Wenn die Summe Ao + Aix 4- A2cc'^ + • • • • für alle 

 reellen Werlhe von x, die zwischen und einer noch so klei- 

 non positiven Zahl a liegen, convergirl und immer den Null- 

 wcrlh hat, während x von bis a wächst, so verschwinden 

 allo einzelnen Coefficienten Ao, Ai, A2. ^3, • • • Dieser Satz 

 wird gewührdich dadurch bewiesen, dass man zuerst a: = 

 setzt, woraus ^0 = folgt. Dann hat die Summe die Form 

 x{Ai-\- A2X + A^x'^ -h • • ') und verschwindet für alle von 

 Null verschiedenen reellen Werlhe von x, die zwischen und 

 a liegen. Die Summe Ai + A^ + A^x'^ + .... bat also die- 

 selbe Eigenschaft wie die ursprüngliche , nämlich für alle in- 

 nerhalb des vorigen Intervalls liegenden Werthe von x zu ver- 

 schwinden. Daher ist nun yli=0 und die Reihe ^2+ -^3^ "♦" 



hat dieselbe Eigenschaft, und so fort. 



Wenn nun aber eine nach steigenden und fallenden Po- 

 tenzen von x zugleich fortschreitende Summe von der Form 



. . . . ^ yi_ ^ x" ^ -\- A_ 2i^~ ' + A_ ^x" ^ -]- Ao + AlX-\- 

 + A2X- -\- A^x'^ + ' ' • • 



vorliegt, von der man nur beweisen kann, dass sie für eine 

 conlinuirliche Reihe von Werlhon von .t, die offenbar nicht 

 durch Null gehen kann, verschwindet, so ist der vorige Be- 

 weis nicht mehr anwendbar. Wenn indess bereits bekannt 

 ist, dass die Summe für alle diejenigen Werthe von .i- ver- 

 schwindet, welche in einem ringförmigen Bande (oder auch 

 nur einer Curve), das den Ursprung (Nullpunkt) umschliesst, 

 enthalten sind, so kann man auf folgende Art beweisen, dass 

 sämmlliche Coefficienten verschwinden. 



Es sei S ein mitten aus der Summe herauscrenoramenes 



