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ist die Lösung vollständig; im zweiten aber fehlt sie fürm= — r.) 

 Die Frage wegen der Convergenz der Summe (A) kann etwa 

 so entschieden werden. Setzt man j/e^'? = z, so folgt 



2(a;4-ycosv) = 2a;-+-zH =(a;+l+z) (l +' 1 ; 



also 



(^+yco»,r=(iE±i)'(i+^)'(n-^)'. ,c, 



Soll hier der zweite Factor rechts nach steigenden Potenzen 



von z entwickelt werden können , so muss — ^^-— = ab- 



x-\-\ y 



solut kleiner als 1 sein ; dann kann aber d"er dritte Factor nur 

 nach fallenden Potenzen von z entwickelt werden. Beide Ent- 

 wicklungen sind also möglich, sobald die reelle Componente 

 von X positiv ist. Es fragt sich jetzt nur noch , ob auch das 

 nach den Potenzen von z geordnete Producl beider convergen- 

 ten Summen ebenfalls convergent sei. Bekanntlich fällt die 

 Binominalreihe für (1 4-a;)'^', wenn man weit genug fortgeht, 

 immer mehr nach Art einer geometrischen Reihe , deren Quo- 

 tient X ist, und wenn man eine endliche Menge von Anfangs- 

 gliedern wegschneidet , kann man den übrigen Gliedern immer 

 eine fallende geometrische Reihe zur Seite stellen, in der jedes 

 Glied absolut grösser ist als das entsprechende der Binominal- 

 reihe. Nehmen wir nun einen ächten positiven Bruch p an, 



der absolut grösser als 1/ ^ ist, so können wir in dem aus- 



gesprochenen Sinne die Summe i -^ p + p'^ + j)^ + , nach- 

 dem sie mit einem endlichen Factor multiplicirt worden ist, 



der Binominalreihe für 1 1 H ^j gegenüberstellen, und das- 

 selbe gilt für 1 1 -| — j . Um aber bei der Multiplication der 



zwei geometrischen Reihen die vorige Anordnung nicht zu 

 verlieren, ersetzen wir die Reihen durch 1 +pl + p'^l--{-pH'^ + ..' 



und 1 + — + -^r + -^ -1- . . . und finden als geordnetes Producl: 



