Notizen. 219 



.V„ = I 

 -Vi = » 



i\-2 = .(2 + ;. 



iVj = «3 + 2 X u 



A'-, = (1^ -f 3 /. «2 -+ X- 



Ni = u* + 4 X h3 + 3 >v' M 



Nr, = «6 + 5 A H= + 6 A2 »2 _|_ X3 



.V; = h' 4- 6 A w^ -+- 10 X2 u3 + 4 X3 1/. 

 u. s. w. 

 Die iiuflrclenden Coefficienlcu sind Binorninalcoefficieiiten, und 

 nmn erkennt b;ild d;is allgemeine Gesetz: 



^3) N,, = U" + ('\-') X u"-2 -r C^-) Ä2 «"-^ + ("g^) ?.3 „»-6 4- . . . ; 



wenn ti = 2 m. so schliesst die Reihe tnil (J'j) X'", 



wenn n = 2 rji -h 1. so schliesst die Ueihe mit ("m^) ^"' "• 



§ 2. 



Wir suchen nun die Bedingung, dass der Punkt o„ 

 wieder mit dem Punkte a zusammenfalle, oder dass 

 x„ = X sei. Die Gleichung (2) giebt für diesen Fall: 



^2 A^.._i - X (iV„ - X N„j2) - i. iV.._i = 0. 

 Gemäss der Recursionsgicichung für .V„ ist aber iV„ — X N„_3 = 

 = uA'„_i, und dadurch gehl obige Bedingungsgleichung über in: 

 (4) iV„_i (x2 — «a; — A) =0. 



Die Gleichung zerfällt also in zwei Faktoren, von denen der eine 

 unabhängig von x. und der andere unabhängig vom Index n ist. 



Es wird a„ =: a (ür jeden Index n, wenn: 

 X- — u X — X = ; 

 d. h. wenn diese Gleichung besteht, so kommt man schon 

 beim ersten Gange auf den Punkt a zurück. Diese Gleichung 

 bestimmt also die den beiden I*unklsyslemen gemeinsauien 

 Punkte. In der Tliat, aus dieser Gleichung folgt x {x — ti) = X. 

 und diess mit der (ileiclunig a; U'' — w) = X verglichen, giebt 

 x' = x. Die beiden Punktsysteme haben also zwei (reelle oder 

 imaginäre) gen)einsame Punkte, und da die Sun)me der Wur- 

 zeln obiger Gleichung= u, so ist die Mitte dieser Punkte zu- 

 gleich die Mitte von ij'. 



