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Wenn n eine zusammengesetzte Zahl , so unterscheiden 

 wir die Lösungen, wo man erst nach n Gängen zum Aus- 

 gangspunkt zurückkehrt, von denen, wo diess schon nacli einer 

 Zahl von Gängen geschieht, die ein Theiler von n ist. Wir 

 nennen erstere primäre, letztere sekundäre Lösungen. 

 Wenn r eine der Zahlen I bis (n-1), und relative Primzahl 



T T 



zu n ist, so bestimmt der Winkel A = — — eine primäre Lösung. 



n ' 



Haben aber r und n einen gemeinsamen Theiler ausser 1, ist 



p der grösste derselben, und - = n', so kehrt man schon je 



nach n' Gängen zu a zurück. Sieht man also wieder von einer 

 blossen Vertauschung von rechts und links ab, so ist die An- 

 zahl der primären Lösungen gleich der halben Anzahl der unter 

 1, 2, 3 ... (h-1) vorkommenden Zahlen, die zu n prini sind, 



also = - (p (m), wo cp (n) die Eulersche Funktion: 



<,(n) = n(l-l) (1-1) (1-^1)...= 



= (a-l) a""^ . (&-1) h^~'^ . (c-1) c^'^ . . . 



wo a, h, c ... die Primfakloren von n = a^ b^ c sind. 



Durch die Relation (6) geht die Gleichung, welche die ge- 

 meinsamen Funkle der beiden projektivischen Systeme be- 

 stimmt, über in 



ic2 — 2k cos A . X -{- k'^ = 0, 

 woraus : 



X = k {cos A ±. i sin A). 



Die gemeinsamen Punkte sind also imaginär. In diesem Falle 

 exisliren bekanntlich zwei reelle zur gegebenen Geraden sym- 

 metrisch liegende Punkte P, von denen aus das Segment a a', 

 wenn o und a' die beiden Punktsysteme durchlaufen, unter 

 einem konstanten Winkel (oder dessen Supplemente) erscheint. 

 Ist die Mitte von ij', so ist o P senkrecht zu ij\ und wenn 

 dem Punkte o als einem Punkte des ersten Systemes im zweiten 

 Systeme o' entspricht, so ist 



(o P)2 r= io . o'o. 



