Deschwanden, über die polaren Projektionen. 109 



Fluchtpunkte (J), (5), (C) eine der Aufgabe ge- 

 nügende Lüge besitzen, so i\ann der zugehörige Pol 

 gefunden werden, indem man die Dreiecke (^) {B) 

 P*", (J) [C] P'" und [B] [C] P' um die Linien (A) [B), 

 [A] [C) und {B) (C) so umdreht, dass die Spitzen P% 

 P"' und P* auf der einen, z. B. der vordem oder 

 obern Seite der Zeiclinungs- oder Projektionsebene, 

 oder auch so, dass sie auf der entgegengesetzten 

 Seite derselben zusammentreffen. Jeder der beiden 

 Punkte P, welche man durch diese beiden Drehungen 

 erhält, ist ein der Aufgabe genügender Pol. Diese 

 beiden Pole haben überdiess eine symmetrische Lage 

 zur Projektionsebene. Da nun diess von jeder Gruppe 

 je dreier zusammengehöriger Fluchtpunkte und dem 

 ihnen entsprechenden Pole gilt, so gilt es auch von 

 den ganzen Polliiiien. Die Pollinie, welche einer 

 gegebenen Aufgabe entspricht, besteht daher stets 

 aus zwei kongruenten, zu beiden Seiten der Projektions- 

 ebene und symmetrisch zu derselben liegenden Hälften. 

 Manchmal ist es vorzuziehen , jede dieser beiden 

 Hälften als eine besondere Linie aufzufassen, und 

 dann kann man sagen: alle Pollinien kommen stets 

 paarweise vor, und die beiden Hälften eines jeden 

 Linienpaares liegen symmetrisch zu beiden Seiten der 

 Projektionsebene. 



Es folgt hieraus unmittelbar, dass die beiden 

 Hälften eines Pollinienpaares entweder ganz getrennt, 

 einander schneidend oder in einander Übergehend ge- 

 dacht werden können. Die Durchschnitts- und Ueber- 

 ganiispiinkte der beiden Hälften miissen stets auf der 

 Projektionsebene liegen und die Tangente an die Ueber- 

 gangspunkte muss senkrecht zu dieser Fbene stehen. 



Ebenso wie die Pollinien, sind auch die einer 



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