228 ^ ^- Geiser, einige geomelrische Betrachtungen. 



liefen die 15 Schnittpunkte auf einer Curve 



vierten Grades. 



Anmerkung-. Dass die Miltelpiinktsnache vom 

 vierten Grade ist, Jässt sich leicht analytisch he- 

 weisen: 



Man wähle von den sechs Punkten /»j, P2t jPs- /*/,, 

 P5, Pf, die vier letzten zu den Ecken des Coor- 

 dinatenletraeders, dann wird jede Flache zweiten 

 Grades, welche durch diese vier Punkte geht, 

 eine Gleichung hahen von der Form: 



1 ) a xy -\- ß xz -\- y xp -\- a' yz -\- ß' yp -i[- y' zp — ^ 



Selen nun die Coordinaten von jPj und P2 resp. 

 x\, y\, zi, p\ und xo, y2, z^, P2, so werden die 

 Flächen zweiten Grades, welche durch die sechs 

 Punkte Pi . . . . P(, gehen sollen, den Coelßzienten 

 der Gleichung 1) die Bedingungen auferlegen: 



2)ax,,vi +ßXiZi-\-yx^pt-\-a'yiZi -1- /3't/, /?, -f y' s,pi = 



B) CC0C2y2-{-ß^2^-2 + 'y^2P2+ «' 2/2-2 + ß' y2P2 + ?' ^■2P2 = 



Ferner: Die Coordinaten x, y, z des Mittelpunktes 

 der durch die Gleichung 1) dargestellten Fläche 

 sind gegeben durch die Gleichungen: 



4) ay-\-ßz^yp = 



5) ax -\- a' z -h ß^ p = 



6) ß X -\- a' y + y' p = 



und hierzu tritt noch, wenn 1) einen Kegel dar- 

 stellen soll 



7) yx + ß'y +y' z = 0. 



In den sechs Gleichungen 2) bis 7) treten die 

 Grössen a, ß, y, a\ ß\ y' homogen und linear auf; 

 man kann sie desshnlb climiniren und erhält dann 

 für X, y, z, p, die Gleichung vom vierten Grade 



