über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 



Von 



Ernst Meissner. 



Einleitung. 



In den Bänden III, IV, V, IX und X der zweiten Serie des 

 Journal de mathematiques pures et appliquees hat J. Liouville unter 

 •dem Titel : « Sur quelques formules generales qui peuvent etre utiles 

 dans la theorie des nombres » eine Reihe von 18 Artikeln veröffent- 

 licht. Dieselben enthalten etwa 60 Formeln, welche zahlreiche zahlen- 

 theoretische Anwendungen gestatten, für welche aber Liouville selbst 

 keine Beweise publiziert hat. Erst über zwanzig Jahre später hat 

 P. Pepin in einer eigenen Abhandlung einen Teil derselben bewiesen 

 (Formules d'analyse utiles dans la theorie des nombres. Journal de 

 math. ser. 4, T. IV, 1888). Es sind dies im wesentlichen vier Formeln, 

 aus denen sich aber alle Grleichungen ableiten lassen, die in den ersten 

 fünf, dem 17. und dem 18. Artikel angegeben sind. Auch die Formel 

 (L) des 6. Artikels ist in ihnen enthalten. 



Die vorliegende Arbeit hat den Zweck, die sämtlichen in den 

 10 Artikeln VII bis XVI publizierten Formeln herzuleiten. Uner- 

 ledigt bleiben wesentlich nur noch die zwei Formeln (N) und (Q) 

 des 6. Artikels, welche sehr spezielle Fälle allgemeinerer Relationen 

 zu sein scheinen. Ausser den erwähnten beweise ich drei weitere 

 von Liouville angegebene Gleichungen, welche mehrere der in den 

 « formules generales » enthaltenen in sich schliessen. 



Um die Brauchbarkeit der Formeln zu zeigen, wird zum Schluss 

 in § 10 eine Klassenrelation bewiesen. Zwei Sätze, welche Halphen 

 im Bulletin de la societe math. de France (Bd. 6) veröffentlicht hat, 

 lassen sich als Spezialfälle Liouville'scher Formeln (der Gleichungen 

 VIII 8 und IX g) darstellen, worauf mich Herr Prof. Hurwitz auf- 

 merksam machte. 



