über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 15T 



Um den Umfang dieser Arbeit nicht allzu stark auszudehnen,, 

 habe ich aber jene Deduktion, die Herleitung der Jakobi-Eisen- 

 stein'schen Sätze über die Zerlegungen einer beliebigen Zahl in vier 

 und 8 Quadrate, sowie weitere auf spezielle quadratische Formen 

 von 3 und 4 Variablen bezügliche Anwendungen Liouville'scher 

 Gleichungen unterdrückt. 



Herrn Prof. Dr. Hurwitz, meinem hochverehrten Lehrer, sage 

 ich herzlichen Dank für seine Ratschläge, sowie für das wohlwollende 

 Interesse, mit dem er das Entstehen dieser Arbeit begleitet hat^ 



§ 1. 



Der Formel, welche Gegenstand dieses ersten Paragraphen sein 

 soll, liegen zwei verschiedene Zerlegungsarten der positiven Zahl m 

 zu Grunde. 



Die erste derselben ist durch die Gleichungen 



m = m"^ -\- m" (!)• 



m" = 2«" • d" ■ d" (l'> 



gekennzeichnet. Hiebei bedeuten, wie überall im folgenden, alle 

 Buchstaben ganze Zahlen, m" , d" und d" sind positiv, d" und d" 

 ausserdem ungerade, sodass a" der Exponent der höchsten in m" 

 enthaltenen Potenz von 2 ist. Die Zahl ni unterliegt keiner weitern 

 Bedingung. 

 Unter 



5 (x, A, /i, v) 



verstehen wir eine Funktion von vier Variablen, welche für alle zur 

 Anwendung gelangenden (immer ganzzahligen) Argumentwerte defi- 

 niert ist, und den Bedingungen 



5 (Jt. ^1 ^, 1^) = i^ (— ii^ K ^,'^) = i^ (^, — ^,(^,v) = ^ (a, A, — ^, v) 



^ (x, A, fi, — v) = — 5 (>c, X, ^, v) (2> 



genügt. 



Nunmehr summieren wir die Ausdrücke 



(— 1)'""-' • ^ (2"" d" + m, d"-2m', 2"" d" + m - 6", d") (3> 



bei festem m über alle Lösungen der Gleichung (1'), und addieren 

 alle auf diese Weise für die verschiedenen, der Gleichung (1) ge- 

 nügenden Wertsysteme {m , m") gebildeten Summen. 



