158 Ernst Meissner. 



Das Resultat dieser Operation schreiben wir in der Form 



Ä, = ^ (-1)"'"-' . g: (2""(Z" +m', d"-2m', 2^"' d"^m-d", d") (4) 



?« = »»'■'' + 2°"- d" ■ ö" 



und behalten eine entsprechende Art der Bezeichnung auch für das 

 weitere bei. 



Wir betrachten ferner die durch die Gleichung 



m = m^ -\-2d^- d^ (5) 



gegebene Zerlegung der Zahl m. Es soll hiebei m^ irgend eine 

 positive, negative oder verschwindende ganze Zahl sein; d^ und d^ 

 seien positiv, d^ ausserdem nur ungerade. Zwei Lösungen (ni-^^, d^, ög) 

 und (m^, d^, d^) von (5) sind als verschieden zu betrachten, wenn 

 nicht gleichzeitig die drei Gleichungen 



m^ = m[ ; d^^ = d^', ^2 "= ^2 



erfüllt sind. Die über sämtliche Lösungen der Gleichung (5) erstreckte 

 Summe der Ausdrücke 



% (?Hi, 2(^2 + ^2, 2d^ — w?i — Ö2, — 2c?2 + 2)«! + da) 

 ist nach vorigem mit 



^2-=^^ 0'*i , 2 6/2 + Ö2, 2 ^2 - m, -d„ -2d,-h2 m, + ^2) (6) 



m =911" + 2<Z2Ö2 



zu bezeichnen. 



Endlich definieren wir noch das Symbol « (x) durch die Fest- 

 setzungen : 



co(x) = 1, wenn x Quadrat einer ganzen Zahl, 

 C3 (jf) = 0, wenn dies nicht der Fall ist. 



Diese Definition soll auch für die folgenden Paragraphen Gültigkeit 

 haben. 



Die Liouville'sche Formel, die hier abgeleitet werden soll, schreibt 

 sich nunmehr in der Form : 



S=Si-hSo^ = (o (m) . 2 ^•j^/^ 2 VwT- i, i - im^ i) (7) 



«•=1,3,5, . .. (2 V«i -1). 



Ihrem Beweis schicken wir zunächst einige Bemerkungen voraus. 

 Der Anblick der Ausdrücke (4) und (6) lehrt, dass in jedem 

 Gliede der Summe S das erste Argument der Funktion Q" ('^> ^, ^1 v) 

 gleich der Summe der beiden letzten Argumente ist, sodass % nur 

 in der Form 



