über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 



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+ 5 (/i + V, A, (i, v) 



auftritt. Aus den über rfg ^^^ ^" gemachten Voraussetzungen folgt 

 ferner, dass A und v nur ungerade Werte annehmen. In Si ist i' 

 ausserdem immer positiv. Die Summe S soll nun dadurch ausgewertet 

 werden, dass untersucht wird, wie oft das Glied 



Of (?/ + 2, X, y, z) 



(8) 



darin auftritt, wenn x, y, z irgend welche feste ganze Zahlen bedeuten. 

 Sind X und z gerade, so tritt ein Term. (8) überhaupt nicht auf; 

 wir nehmen daher gleich an, x und z seien ungerade, d. h. 



X = 1 (mod 2) s = 1 (2) (9) 



In der Summe 8^ tritt das Glied i^ {y -}- z, x, y, z) so oft auf, 

 als das Gleichungssystem 



ö" — 2m' = X 



2 all -,1t 1 / et) 



d -\- m — = y 



ö" = z 

 m = m^ -\- 2°'" d" • d" 



Lösungen besitzt, welche den anfangs gestellten Forderungen d" und 

 d" betreffend, genügen. Dieses System ist äquivalent mit 



2 m' = z — X 

 d" = z 

 2-2"" d" = X +2?/ + s 



4«! = x'-^iyz-^ 32- 



also mit denjenigen Lösungen der Gleichung 



4 m = X" -\- 4: y ■ z -{- '^ z^ 



welche die Bedingungen 



2> \ 



(A) 



(B) 



a:; + 2 ?/ + 2 > / 

 erfüllen. Umgekehrt entspricht jeder solchen Lösung eine Zerlegung 



m = in- + 2° ' d" • ö" 

 für w^elche in ^S*! das Summenglied 



{—iy""'^%{y^z,x,y,z) 

 auftritt, welches wegen 



m" ~ 2"" . d" (2) 



