160 Ernst Meissner. 



die Form 



i-iy^-^-'-^iy-h^, X, y, z) (10) 



annimmt. 



Wenn keine Lösungen von (A) existieren, für welche z>0 würde, 

 so tritt kein Glied (8) in S^ auf. Im andern Falle gibt es sicher eine 

 Lösung von (A), für die x und z positive ungerade Zahlen X resp. Z 

 sind. Ihr ist eindeutig umkehrbar die Lösung ( — X, y, + Z) zuge- 

 ordnet, und die Bedingungen (B) gehen für zwei solche korrespon- 

 dierende Lösungen über in 



Z+2^ + Z>0 resp. — Z+2z/ + Z>0. 



Die entsprechenden Summenglieder in Sy sind wegen (2) von der Form 



und zwar tritt das Plus-Zeichen auf, wenn die Lösung (X, y, Z) von 

 (A) einem der Bedingungssysteme 



Z+2z/ + Z>0 \.^. —X-h2y-}-Z>0 Kg x 



X-h2y-hZ=2{4:) I ^ '^ — Z-4-2?/ + Z=2(4) | ^ '^' 



das Minuszeichen, wenn sie einer der Bedingungen 



Z+2y/4-Z>0 I -gs -X^2y-hZ>0 Ig. 



Z+2?/-hZ=0(4) ) ^ '^ — Z+2y + Z=0(4) I ^ ' 



genügt. 



Die Forderungen (B^) resp. (Bg) sind aber in den Forderungen 

 (Bi) resp. (B3) enthalten, da nach (9) 



2X=2 (4), 



und die Glieder, welche durch zwei solche Systeme gleichzeitig er- 

 zeugt werden, heben sich des verschiedenen Vorzeichens wegen fort. 

 Man kann sich also auf diejenigen Lösungen von (A) beschränken, für 

 welche entweder 



X^2y-hZ>0 ] X-^2y + Z>0 ] 



Z + 2^ + ^=2(4) (B;) oder Z-f- 2^ + ^=0 (4) (B3) 



X — 2y — Z>0 J Z— 2^ — ^>0 I 



erfüllt ist. In der letzten Ungleichung von (Bg) ist das Gleichheits- 

 zeichen weggelassen worden, da es wegen der darüber stehenden Kon- 

 gruenz nicht auftreten kann. Im Falle (B^') tritt in S-^ das Glied 



^{y-\-Z,X,y,Z) 



mit dem positiven, im Fall (Bg) mit dem negativen Zeichen auf. 



