Ülier die zalilentheoretischen Formeln Liouville's. 161 



Dieselbe Untersuchung wie für S^ führen wir nun auch für die 

 Summe (6) aus. 



In S.y tritt 3" (// + ~, X, ?/, z) so oft auf, als mit den Vorausset- 

 zungen verträgliche Lösungen des Systems 



2 cL -hd^ = x I 



2 rf, — i^h — ^3 =" Z/ ( 

 — 2^ + 2 m, -+-d,^z] ^ 



vorhanden sind. Dieses ist aber äquivalent mit 



^'^1 = // + < 



2 6, = x~ 2// — ;- 



4:dc, = X -\~ 2y -{- z 



4:))i ^= x^ -r- 4 1/ z -\- '3 z^ 



d. h. mit dem Inbegriff der Lösungen der Gleichung (A), für welche 



X — 2// — z>{) j 



ic + 2?/-t-z->0 (C). 



,r-r-2.y + s = 0(4)! 



Sind X und Z wieder positive, ungerade Zahlen, so entspricht der 

 Lösung (X, y, Z) von (A) ein-eindeutig die Lösung (X, — //, — Z). 

 Aus (C) ergibt sich, dass x überhaupt nur jDositive Werte X an- 

 nehmen kann. Für die Lösungen 



{X,ij,Z) resp. (X,—y,—Z) 



werden die Bedingungen (C) zu 



X—2y — Z>0 I X+2?/ + ^>0 ] 



X-\-2y-^Z>0 (Ci) resp. X- 2y — Z>0 [ (Cg) 



X+2?/ + ^=0(4) J X+2?/+Zee2(4) I 



und jeder Lösung (C, ) von (A) entspricht in So der Term 



^(y-^rZ,X,y,Z), 

 jeder Lösung (C^,) aber das Glied 



^i-y-Z,X,-!j,-Z) = -^^{y-^Z,X,y,Z). 



Vergleicht man nun die Bedingungen (C^) und (Cg) mit den bei der 

 Betrachtung von *S\ erhaltenen Systemen (Bj) und (Bg), so erkennt 

 man, dass (Bg) mit (Cj) identisch ist, und dass auch (C.,) mit (Bj) 

 übereinstimmt, wenn man nur in (B^') vom Gleichheitszeichen der 

 letzten Ungleichung absieht. Jede Lösung (X, //, Z) von (A), für die 



X— 2// — Z=h 

 genügt also keinem oder zweien der Systeme (B^), (C,); (Bg), (Cj), 

 und erzeugt im letztern Falle in S denselben Term zweimal, aber 



Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. .52. 1907. 11 



