162 Ernst Meissner. 



mit verschiedenen Vorzeichen. Ihr Beitrag an die Summe S ist da- 

 her in allen Fällen gleich null, und sie braucht nicht weiter berück- 

 sichtigt zu werden. 



In aS* bleiben nur noch diejenigen Glieder übrig, die durch die 

 Lösungen (B^) von (A) erzeugt werden, für welche 



X—2i/--Z=Q. (11) 



(A) geht dann aber über in 



m^iy-^^Zy (AJ 



woraus ersichtlich ist, dass derartige Lösungen nur dann existieren, 

 wenn m eine Quadratzahl ist. Wenn dies nicht der Fall ist (w {m) = 0) , 

 so zerstören sich sämtliche Glieder in jS*, und die Formel (7) ist be- 

 wiesen. 



Ist aber m eine Quadratzahl, also C3{m) = l, so geht wegen (11) 

 das Bedingungssystem (B^') über in 



und wegen (A') wird 



Z+2y/ + ^>0l ,ß„. 

 X — 2?j — Z>()l^ ^' 



X=2 im- Z ] 



y = im — Z !• (12) 



ij^-Z^im J 



Man erhält aber alle Lösungen von (A'), die (B^') erfüllen und jede 

 nur einmal, wenn Z alle ungeraden Zahlen i von 1 bis [2] m — l) 

 durchläuft. Sie Summe 8 wird daher 



8 =^ S (V^ 2 V«r— Z, i'm — Z, Z) oder 

 8 = a (^m) -^ i^ (y>w, 2 ^»1 — /, ^m — i, i) 



i=l,3,...(2V«<— l) 



womit der Beweis der Formel (7) auch für diesen Fall geleistet ist. 

 Mit Benützung der Gleichungen (2) kann sie leicht in die Form ge- 

 bracht werden: 



^ (_ i)'""-i c^ (2«' d"-\- m, d"~ 2 m, 2"" d"-^ m- Ö", d") - 



^ g [ni^, 2 d.-, -+- d„, 2 fZ._. — vi^- ö^, 2d„^-2 m^ - ö,) = 



= a {m) • te Um', 2 ]'ni — 1, V^— 1, l) + 



^^{im,2]'m-3,im~3,S)-'r •-■-h^{im,l,l-im,2im-l}]- X(i;> 



Dies ist die Hauptformel des 10. der Liouville' sehen Artikel.') 



') Liouville : Sur quelques formules . . . Journal de mat. T. IV, ser. "2. pg. 195, 



