über die Zahlentheoretischen Forniehi Liouville's. 163 



Durch Spezialisieren der Funktion [y (/^^ ^^ ," i ^) entstehen aus * ihr 

 beliebig viele neue Formeln, von denen hier jedoch nur die in den 

 „formules generales" auftretenden behandelt werden sollen. 



Man erfüllt die Gleichungen (2), d.h. die einzigen Beschränkungen, 

 denen die Funktion 5 (^^ ^^ ."? ^) unterliegt, wenn man 



^{x,L^,v) = Fiv) 



setzt, wo F{v) eine für alle auftretenden Argumentwerte definierte, 

 ungerade Funktion bedeutet. Dann aber geht die Formel (X v) über 

 in die Formel (x) desselben Artikels: 



_ 2(- ir"-'F{8") -2f{^ d,- 2 m- ÖJ = 



,1/ = „/ -+ 2^'' ' d' ' d' ' m = «/j + 2 rfg ö, 



= G,{m) [F[\) + i^(3) -^ • . • -f i^(2) ;7- 1)}. (X x) 



Ist/(/£,A) eine für alle zur Anwendung gelangenden Argumente 

 definierte gerade Funktion bezüglich jeder ihrer Veränderlichen, so 

 befriedigt der Ansatz : 



5 (x, i, ft, v) = vf% ;.) 



die Bedingungen (2). Die Formel (X v) verwandelt sich dabei in die 

 speziellere Beziehung : 



^ 2i- ir""'- Ö"./(2«'VZ"H- m', ö"- 2 )m') -^ (2 d.,~8,^f{m^, 2 f/.^+ dj == 



= in' - -r 2"' ' (f ' ö ' )ii = ;Mj + 2 rf, 6., 



= « (m) {f{im,2]/m- l) -^- 3/(1^; 2 Vm - 3) H h (2 Vm - l)/(V^ l)} (Xri) 



welche unter [t]) ebenfalls im 10. Artikel angegeben ist. Hiebei ist 

 die Summe 



welche zunächst auf der linken Seite der Gleichung auftritt, unter- 

 drückt worden. Ihr Wert ist null, da sich ihre Glieder des doppelten 

 Vorzeichens von ni^ wegen gegenseitig zerstören. 



Wenn die gerade Funktion /(x,A) in Bezug auf das erste Argu- 

 ment x konstant ist, so geht [r]) in die ebenfalls dem 10. Artikel an- 

 gehörende Formel (0) über: 



(m) |/(2 V,^-l) + 3/(2V»r-3) H h (2V^-1)/(1)}- (X 0) 



a 



unterdrückt man dagegen in (t]) das zweite Argument von /(x, A), 

 so erhält man zunächst: 



