164 Ernst Meissner. 



^(-ly"-'- 6"./(2°'V?" + »0 -^(2 d-ö^)f{m^) = (oim) • m -/(l'm). 

 Nun ist aber 



und wenn 



gesetzt wird, so ergibt sich 



2 {2ck-ö,)f{m,) =^ t, (m,)/(mO 



und durch Einsetzen in die vorige Gleichung 



ni = m ■ + 2" fV ' • <y ' »i = M" + 2 >«.^ 



^ Co (w) • m • f [\ni). (IX t) 



Diese Formel findet sich im 9. Artikel von Liouville unter (t) an- 

 gegeben. 



Durch die Spezialisierung 



5(x,A,^,r') = v-/(ft) 



wo /(fO wie vorhin eine gerade Funktion sein soll, erhält man aus 

 der Hauptformel (v) die Formel (i) des 10. Artikels in der Form : 



^ {-!)'"'-'. d".f{r" • d"^m - ö") - 



-2 (2 ^2- 2 »h - ^2) / (2 ck - m, - a.) = 



= '^("01/(1— V'i^)-f- 3/(3 - im) -I h (2 im — l)/(V/i7— l)j • i^X(.) 



Weniger einfach ergibt sich aus der Formel (v) ein Spezialfall, 

 in welchem die Darstellungen der Zahl m als Summe dreier Quadrate 

 eine Rolle spielt, und den wir nunmehr ableiten wollen. 



Da in {v) das vierte Argument v der Funktion ^ (x, A, u. v) nur 

 ungerade Werte anninmit, so ist der Ausdruck 



(-1/'^"^/« 



worin /(x) wieder eine gerade Funktion ist, eine gerade Funktion 

 von A und n, dagegen eine ungerade Funktion von v. Er erfüllt so- 

 mit die Bedingungen (2), und kann in (X 1') eingesetzt werden. Dann 

 wird die erste Summe S^ der linken Seite unter Beachtung der Kon- 

 gruenzen 



2'" d" = m" (2) 

 ö"=:l(2) 



