über die zahleiitheoietit^clieii Formeln Liouville's. 165 



ZU 



S; =2 (- l)""'''^f(r"d"-h- m). (13) 



Die 2. Summe So geht nach einer leichten Reduktion über in 



wo bei festem ui^ zunächst über alle Lösungen der Gleichung 



»«2 = (h ' ^2 (15) 



zu addieren, und sodann die Summe aller so erhaltenen Ausdrücke über 

 die Lösungen von 



m = m'^ -\- 2 ?»2 (15') 



zu bilden ist. Wegen 



cL = ni, (2) 

 wird daher 



^^2 =2 [/("O (- 1)"'^-^ (- 1)^] • (16) 



ni = in' + 2 ;«., 11/,^ = f7, • 6., 



Mit Liouville setzen wir abkürzend : 



öo-l 



9('"2)=^(-l) ^^ . 



Nach einem bekannten zahlentheoretischen Satze (der sich übrigens 

 auch aus Liouville'schen Formeln herleiten lässt) bedeutet dann 

 4 • Q (tUo) die Anzahl der Darstellungen der Zahl 2 in^ durch die 

 quadratische Form 



X- 4- i/. 

 Mit dieser Bezeichnung ergibt sich aus (16): 



m — tu' + 2 /«2 



Es ist aber 



Q (nu) = 0, 

 wenn die Gleichung 



9o I f f o 



- m2 = s- -h s - 



keine ganzzahligen Lösungen hat. Es wird daher 



in — m' + s- + s"^ 



