166 Ernst Meissner. 



und hierin ist die Summe über alle Lösungen der angegebenen 

 Gleichung zu erstrecken, für welche 



(17) 



^'^.'-^^(-ly./OHO. (18) 



m = n/~ + s'^+ s"- 



Nunmehr lässt sich leicht zeigen, dass die in (17) auftretende Be- 

 dingung 



s = s" (2) 



unterdrückt werden darf. Ist nämlich 



s + s" = 1 (2), 

 so liefert die Zerlegung 



m = m^^ -\- s- -f- s"^ 



in (18) viermal den Term (— if ■ f (nii). Ihr ist, weil s und s" ver- 

 schieden sind, ein-eindeutig die Zerlegung 



2 I o"2 I r2 



m = m^ 4-5 - -h 6- 



zugeordnet, welche in (18) den entgegengesetzt gleichen Term 

 ( — 1)* f (jn^) ebenso oft erzeugt. Die Summe aller dieser Glieder 

 hat den Wert null und darf somit der Summe (18) beigefügt werden. 

 Aber auch die Bedingung 



S2 _^ ,,"2 > Q 



darf bei Seite gelassen werden, wenn m keine Quadratzahl ist, da in 

 diesem Falle die Gleichung 



m = ;»^ H- 



keine Lösung besitzt. Ist aber m ein Quadrat, so entsteht für die 

 Zerlegung s = s = 0; m^ = + ]/ m in (18) der Ausdruck 



/('"i)+/(-"0 = 2/(Vm). 



Man kann somit die Bedingungen (17) aufheben, wenn man auf der 

 linken Seite von (18) noch den Ausdruck 



