über die zahlentheoretischen Forniehi Liouville's. 167 



CO (m) . 2 • / (V «7) 

 addiert. Es wird dann 



2 « (m) . / Um) + 4 .^2 = ^ (- 1)V (mj, (19) 



wo nun die Summe der rechten Seite über sämtliche Lösungen der 

 •Gleichung 



7)1 = m\ -\- s^ + &•"- 



auszudehnen ist. 



Die rechte Seite unserer Hauptformel (X v) geht durch den Ansatz : 



5(x,A,^,i.) = (-iy'+'^/(x) 



über in 



R 

 und weeen 



y m = m (2) 



wird 



4 i^ = { 2 . / (V^ (- 1)'" - ' + 2 / (j/^) } . 09 (m). (20) 



Die Liouville'sche Formel (X v): 



Si -{- So =^ R 



geht beim Einsetzen der Ausdrücke (18), (19) und (20) endlich über 

 in die Beziehung:' 



4^ (- 1)-' + ^^ .f{r"cl"^m') -^(-1)^/(0 = 



11/ =3 m'^ + 2«"(?"6" M = s2 + s'2 4- s"2^ 



=-t. (m).2.(-l)'"-^/(Vm). (XI(,) 



Dies ist die Formel (q) des 11. Artikels, aus welcher sich durch 

 Spezialisierung der Funktion / (x) weitere interessante Resultate mit 

 Leichtigkeit ergeben, wie dies von Liouville im 11. Artikel teilweise 

 gezeigt wird. 



Wir schliessen diesen Paragraphen mit einigen weiterhin auch 

 gültigen Bemerkungen über die in den Formeln auftretenden Funk- 

 tionen. Dieselben sind im hohen Grade willkürlich. Sie brauchen 

 durchwegs höchstens für das Gebiet der ganzen Zahlen definiert zu 

 sein. Über ihr Verhalten für nicht ganzzahlige Argumente ist keine 

 Voraussetzung gemacht worden. Natürlich können alle stetigen 

 Funktionen angewendet werden, die sich bei Vorzeichenwechsel ihrer 

 Argumente ändern, wie die Formel jeweilen vorschreibt. Man kann 

 aber mit Vorteil auch unstetige Funktionen gebrauchen. So ergeben 



