108 Ernst Meissner. 



sich bemerkenswerte Resultate, wenn man die gerade Funktion 

 f (ji) = 1 oder setzt, je nachdem | x i grösser oder kleiner ist, als 

 eine gegebene positive Zahl a. Oder man setzt / (jf) = 1 oder 0, 

 je nachdem x durch eine vorgeschriebene Zahl ^j teilbar ist oder 

 nicht. Eine weitere Klasse von Spezialformeln resultiert auch, wenn 

 man geeignete Kombinationen trigonometrischer Funktionen einführt; 

 mit Hülfe der Additionstheoreme können dann die Funktionen zu- 

 sammengesetzter Argumente durch solche mit einfachen Argumenten 

 ersetzt werden, wodurch die Formeln an Übersichtlichkeit gewinnen. 



§ 2. 



Die Hauptformel, welche in diesem Paragraphen abgeleitet wer- 

 den soll, enthält wieder eine Funktion 



^' (jt, A, ^, i>) 



von vier Veränderlichen, die aber nunmehr für alle zur Anw^endung 

 kommenden Argumentwerte die Bedingungsgleichungen 



erfüllt. Sie bezieht sich ferner auf die Zerlegungen einer positiven 

 geraden oder ungeraden Zahl m nach der Gleichung 



m = »ij -f- jHg + f^2 ■ ^3 (2) 



worin d.^ und d.^ positive, m^ und iiio irgendwelche ganze Zahlen be- 

 deuten. Ö3 soll nur ungerade Werte annehmen. 



Die über sämtliche Lösungen von (2) erstreckte Summe 



S =^ 0" (Ö3 — 2 m^ , (^3 -h tUo — m^ , d.. ~\- m.^ -h m^ ,0^+2 m^ ) ( 3)' 



(2) 



kann, wenn sie überhaupt einen von null verschiedenen Wert hat, in 

 eine viel einfachere umgeformt werden. 



Man sieht zunächst, dass a und v immer ungerade Zahlen sind, 

 insbesondere also nie verschwinden. Wegen (1) darf auch A als von 

 null verschieden angenommen werden, während ft sehr wohl den Wert 

 null haben kann. 



Seien nun x, 1/, t feste, von null verschiedene Zahlen; -- sei positiv, 

 negativ oder null. Wenn die Zahlen x und t nicht beide ungerade 

 sind, so tritt der Ausdruck 



Q {x, y, z, t) 



