über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 



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in der Summe (3) niemals auf. Wir setzen daher x und t als un- 

 gerade voraus. 



Dann erscheint in S das Glied %{x^y^z,i) so oft, als das Gleichungs- 

 system 



X =' d. 



Im, 



U 



cU 



3 ~r- »io + "^1 



z = d.. 



oder das damit äquivalente 



2 ,n, = z — y 



ö., = y — z + t 

 2 nie, ^= y — X — z-^- 1 

 2d^ = x-^'lz — t 



(4) 



Lösungen besitzt, die den gestellten Bedingungen entsprechen, und 

 der Gleichung (2) genügen. Diese geht vermöge der Gleichungen (4) 

 über in 



4 m = 2 {if -z')^x^-^^z-t — t^ (5) 



und die Voraussetzungen 



d^ > 03 > Ö3 = 1 (2) 



sind erfüllt, wenn die Lösungen der Gleichung (5) den Bedingungen 



x-h2z—t>0 

 y — z-\-t>0 

 y-z-ht=l (2) 



(6) 



genügen. Jeder solchen Lösung entspricht vermöge (4) eine Zer- 

 legung (2) der Zahl m, welche in S den Term 



0= (x, y, z, t) 

 erzeugt. 



Wenn die Gleichung (5) überhaupt eine Lösung hat, so besitzt 

 sie auch immer eine solche, in welcher ./;, y und t positive Werte 



.Y, Y resp. T 



besitzen. Durch Andern der Vorzeichen ergibt sich aus einer solchen 

 das System der acht Lösungen 



1) X, F, z, T; 2) -A', F, -r, -T; 3) A, - Y, -z, -T; 4) -A, - Y, z, T 

 o) X, Y, - -., -T; 6) -X, Y, z, T; 7) A, - F, z, T; 8) -A, - F, -z, -T. 



