über die zahlentlieoretischen Formeln Liouville's. 



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mit dem positiven, die beiden letzten mit dem negativen Vorzeichen. 

 Da die linken Seiten der letzten Ungleichungen in allen 4 Systemen 

 ungerade Zahlen sind, so darf dort das Gleichlieitszeichen weggelassen 

 werden. 



Nunmehr tritt eine weitere Reduktion in Evidenz. Wenn die 

 Bedingungen («3) resp. (ajj) erfüllt sind, so sind es um so mehr die 

 Bedingungen («5) resp. {a[). Wie vorhin zerstören sich die solchen 

 Lösungen der Gleichung (5) entsprechenden Glieder in S des ver- 

 schiedenen Vorzeichens wegen paarweise, und es bleiben von (5) nur 

 noch diejenigen Lösungen zu betrachten, für welche eines der Be- 

 dingungssysteme 



Y— z +r>0 



r— -. -+-r=i(2) 



(«;') 



X— 2 2 



r4- z 

 r+ z 



Y— z 



X^2z 



r>o 



T=l(2) 

 T>0 



(«5) 



befriedigt wird. Wenn aber in der letzten Ungleichung nicht das 

 Gleichheitszeichen gilt, so sind diese beiden Systeme immer gleich- 

 zeitig erfüllt, und jede solche Lösung liefert an 8 keinen von null 

 verschiedenen Beitrag. Man braucht also nur die Lösungen von (5) 

 zu berücksichtigen, für welche entweder 



oder 



X — 2 2 + r 

 z -+- 2 s — r 



ist. 



In beiden Fällen nimmt jene dann die Form an: 



2 m = ]f- + 2". (5') 



AVenn die Zahl 2 m, keine Darstellung als Summe von 2 Quadrat- 

 zahlen gestattet, so hat (5') keine Lösung, und der Wert der Summe 8 

 ist gleich null. Ln andern Falle geht die Gleichung (5') vermöge 

 der Beziehungen 



ij = d^-^ m^ 



z = (ig 4- i'U 



m. 



m. 



und der Gleichung (2) über in 

 woraus, da d^ > 0, die Relation 



2 ujo) = 



(Zo 



'^ ))U 



hervorgeht. 



(7) 



