über die zahlentheoreüschen Formeln Liouville's. 173 



^ F{d.^ — 2 ?»2 , ^3 -f- »?._, — J»i , fZg + »?2 "+" '"l ) = 



= "^ F(2 a — 2s-l,a-h,a^ b). (XVI 1) 



Dl = a- -t- h" 



Da hier das 1. Argument nur ungerade Werte annimmt, so ist die 



weitere Spezialisierung 



^ — 1 



gestattet. Die rechte Seite der Formel (1) wird dann 



a — \ 



s = 



s = 



2F{a- h, a + h) [(- rf-' 4- (- 1/'-- H- • + (- 1)'] 



»i = a- -T-h' 



und es verschwindet somit jedes Glied, welches für gerade Werte von a 

 auftritt. Man erhält also die Gleichung 



^ (— 1) ' ' 'F (d., + J//2 — Dil , d-i -f- (»2 — »"l ) = 



= 2F{a-b,a^h) (XVI 4) 



7)1 = a- + h- 



wobei rechts nur über diejenigen Lösungen der Gleichung 



m = a -'- 0- 



zu summieren ist, in denen a eine positive ungerade Zahl bedeutet. 

 Dies ist die Formel (4) des Artikels (16). 

 Setzt man in der Hauptformel (3) 



wo wieder F eine bezgl. aller Argumente ungerade Funktion sein 

 muss, so ergibt sich die Relation (2) desselben Artikels: 



^ ly {ö-s — 2 m^, ds + m, — »«i , ög -f- 2 m^^ ) = 



t)i = nr + IIII + d^ öj 

 ff — 1 



= ^ i^(2 a — 2 5 - 1. rt — &, 2 .^ -^ 2 ft -t- 1) (XVI 2) 



s = 

 VI = a- + b- 



Da hier die beiden äussern Argumente ungerade sind, darf die Funk- 

 tion F{.i-,i/,t) weiter spezialisiert werden nach der Gleichung 



F(x,y,t) = (-l) 2 -Fii/), 



