174 Ernst Meissner. 



worin F{y) wieder ungerade Funktion ist. Die Formel (2) geht dann 

 nach einigen Reduktionen über in die am Schluss des 16. Artikels von 

 Liouville angegebene Gleichung (5): 



2 (- 1)"'"' ""• F(d,^m, - m J = (- 1)" .^ aF(h-al (XVI 5> 



m = in' + }>'~, + d f> m = a- + Iß 



womit sämtliche Formeln des genannten Artikels erschöpft sind. 



§ 3. 



Die in diesem Abschnitt herzuleitende Formel steht mit der vorigen 

 im engen Zusammenhang, und die Beweisführung geht derjenigen des 

 § 2 genau parallel. 



Es tritt in ihr eine für alle zur Anwendung kommende Argument- 

 werte definierte Funktion auf, welche den' Gleichungen 



genügt. 



Die Formel bezieht sich auf die Zerlegungen einer positiven un- 

 geraden Zahl ni nach der Gleichung 



/ m = m\ + 4 r}K + 2"^ + ^ • ch • 8^. (2) 



i«2 ist hiebei eine beliebige, m^ eine ungerade Zahl, t/^ und Ö^ sind 

 positiv und ungerade, und der Exponent «3 ist grösser oder gleich null. 

 Die über alle Lösungen von (2) erstreckte Summe 



S---2^ (2"' Ö3 — 2 m^ , C/3+ 2 n^ — m, ,d^+2 m.^-^m, . 2"^ ög-f- m, ) (3) 



soll ausgewertet werden. 



Wegen (1) darf man voraussetzen, dass in der Summe -S* nur 

 solche Glieder auftreten, in denen die beiden ersten Argumente, und 

 von den zwei übrigen wenigstens das eine von null verschieden sind. 

 Ferner sind die beiden innern Argumente immer gerade Zahlen, so- 

 dass 3" ii^ ^ iiur in der Form 



auftritt. 



Sind X und y zwei von null verschiedene, z und t zwei nicht 

 gleichzeitig verschwindende ganze Zahlen, so tritt 



S(*,2y,2^,0 



in der Summe (3) so oft auf, als das Gleichungssystem 



