über die zahlentheoretischen Formehi Liouville's. 



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eis- 

 cL 



2"^ dg — 2 ««2 = ^^ 

 2^2— "'i= 2 z/ 



- 2 »»2' 

 9«3 A 



in. 



2z 



;>*! — t 



oder das damit gleichwertige: 



(4) 



'ih =-■ — ?/ 



2 «?2 = y — X — z-{- t 

 d^—- X -\- 2 z — t 



Lösungen besitzt, welche die gestellten Anforderungen befriedigen. 

 Diese Lösungen entsprechen aber eindeutig umkehrbar den Lösungen 

 der Gleichung 



m^ x''~\~2tr—2z''-h4.zt — r% ' (5> 



für welche die Bedingungen 



y 



^ 4- s = 1 (mod 2) 

 ic H- ?/ = 1 (mod 2) 



2z — t>0 



(6) 



erfüllt sind. Wie im vorigen J^ gezeigt wurde, zerfallen aber alle 

 Wertesysteme {x, y, z, t), die (5) erfüllen, in Gruppen von je 8 ver- 

 schiedenen, die wir, wenn X und Y die absoluten Werte von ./; und y 

 bedeuten, in der Form angeben können : 



1) X, Y, z, t 2) -X, Y, -z, -t 3) X, -Y, -z, -t 4) -X -Y, z, t 

 5) X, F, -s, -t 6) -X, F, z, t 7) X, -Y,z,t 8) -X, -F, -z, -t 



Die 2 ersten Bedingungen (6) gehen für alle Lösungen über in 



X+^ = 



F + r- = 



1(2)1 



1 (2) r 



(«> 



die übrigen werden der Reihe nach zu: 



F— z + ^ > 1 



XH-2^ — i>0 I 



M 



-t>0 \ 



Y-\~ Z (/ ^ V I / N 



-F4- z 

 X—2z 



F+ z 

 X —2z 



— Y— z 



t>0\ r 



t>0 J. 



^ > 1 



^>o I. 



t>0 \ 



(«3) 



(«5) 



X+2 2— i>0 (_ 



(«7) 



— F— z +i>0 \ 

 — X-4-2^— ^>0 ). 



F— z 4-^>0 1 

 — X+2s-^>0 |'_ 



— F-1- := — ^>0 I 

 — X — 2s + ^>0 I. 



(«4) 



h 



(«0) 

 («s) 



