über die zahlentheoretisclien Formeln Liouville's. 



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2'''ö 



3 '^•'3 



Ä 



cL = 2 i)h 



m. 



Setzt man nun 



so wird 



2"^ö, ^-4 = « I 



:i.( 



(7) 

 (8) 



2 }Uo -h "« 



X = 4- (« - ß) 

 2 ?/ = « — 2 s — 1 



22 = /3 + 2s+ 1 



^ = -f (« + /3) 



(9) 



a und ß sind dann ungerade Zahlen, die wegen (5') der Gleichung 



2 m = «•- + /3' (5") 



genügen. Die Gleichungen (7) und (8) zeigen, dass s, a und ß den 

 Beschränkungen 



< 2 5 + 1 < a I 



(10) 



unterworfen sind. Durch die zweite dieser Bedingungen wird das Vor- 

 zeichen, das man der Zahl ß in (5") beizulegen hat, eindeutig bestimmt. 

 Die Summe S geht bei dieser Transformation über in die über 

 alle Lösungen von (5") zu erstreckende Summe 



« = ^ 5(^, « - 2., - 1, ß + 2s + 1, ii±i) 



wobei a, ß und s den Bedingungen (10) genügen müssen. Setzt man 

 noch fest, dass der Summe der Wert null beizulegen ist, wenn gar 

 keine Lösung (5") möglich ist, so erhält man die Relation : 



^ 5 (2"3 ^3 - 2 ^2, rfs + 2 u^ - m, , (^3 -4- 2 m^ + m, , 2'^ 8, 



in = jH" + 4 ml + -l^'s (li 03 

 «- 1 



= J 3 ( V-. « - 2« - 1, ^ + 2., + 1, ^-). 



>><i = 



(XV 3) 



; = I) 

 2 in = a- + ß- 



Dies ist die Formel (3) des Artikels 15 ^). 



Ist i^ wieder eine bezüglich aller Argumente ungerade Punktion, 

 so liefern die Ansätze 



') Journal de mat., ser. 2, T. 9, pg. 3:21. 



Vierteljahrsschrift d. Natnrf. Ges. Zürich. Jahrg. 52. 1907. 



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