über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 179 



Die zwei letzten Argumente der Funktion F {x, y, z) in (A) sind 

 gerade. Bedeutet ^ (.r, ii) eine für alle zur Anwendung kommenden 

 Argumente definierte und den Gleichungen 



{x, «) = — (— X, n) = O {x, — ii) 



genügende Funktion, so hat der Ausdruck 



a>(.,i^)-*(.,i^) 



^anzzahlige Argumente, und ist sowohl bezüglich a-, als bezüglich ij 

 und z eine ungerade Funktion. Setzt man ihn für F (x-, y, z) in die 

 Formel (A) ein, so ergibt sich die unter (Ag) im XIII. Artikel ge- 

 gebene Beziehung 



2 [^ (Ö3 - 2 ^2, ^3 + 2 m^) - (Ö3 - 2 ^2, m,)] = 0. 



VI = m\ + 4 ml + 2 rfs Ö3 (XIII Ag) 



Setzt man hier endlich noch 



wo /(«) eine gerade Funktion sein muss, so erhält man die Relation 

 (A3) desselben Artikels: 



(5,- 1 



^ (- l)^^"""'- [/(fZ3 + 2mO -/(»O] = 0. ^xill A3) 



JH = vr -I- 4»«.^ + Zdib^ 



Endlich resultiert aus der Formel XIV (C) durch die Speziali- 

 sierung 



^ {x, xj, z,t) = F {x, ij, t), 



wo F bezüglich x, y und t ungerade sein muss, die Formel (B) des- 

 selben Artikels : 



2 F {0^ — 2 m^, ds + 2 m^ — m^ , d^ + m^) = 0. ,-j^jy gx 



»i = »/' + inil + 2 rfs Ö3 



Hiemit sind alle im 13., 14. und 15. Artikel angegebenen Beziehungen 

 abgeleitet. 



§ 4. 



Die Hauptgleichung dieses Abschnittes enthält eine für alle ver- 

 wendeten Argumente definierte Funktion 



F (A, fi, v), 

 welche den Gleichungen 



