über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 181 



r+z>o\, . Y — z>o\ -r-f-^>oi . . 



Y-Z>0\ 

 lind alle Lösungen («i) . . . (a^) erzeugen in der Summe S den Term 



± F (x, r, z). 



Es ist leicht zu sehen, dass in den Fällen («i) und («2) das positive, 

 in den Fällen («3) und («4) das negative Zeichen zu wählen ist. 



Wenn die Systeme («3) resp. («2) erfüllt sind, sind es um so 

 mehr die Ungleichungen («j) resp. («4); eine zwei solchen Systemen 

 gleichzeitig angehörende Lösung erzeugt aber in S zwei sich zer- 

 störende Glieder, und kann weggelassen werden. Die Bedingungen 

 («4) bis («4) reduzieren sich daher auf die folgenden: 



2X— Z>0\ , ,. Y— Z>0\ , ,. 



Wenn kein Gleichheitszeichen auftritt, so sind aber auch diese zwei 

 Bedingungssysteme gleichzeitig erfüllt oder nicht, und alle derartigen 

 Lösungen von (5') liefern an S den Beitrag null. 

 Wenn dagegen in (a[) 



Y = Z 



ist, so geht (5') über in 



in = X- = X-. (o ) 



Dieser Fall tritt nur ein, wenn m eine Quadratzahl, also a {m) = 1 

 ist. Die korrespondierenden Lösungen liefern wegen der Bedingung 



2X— Z>0 

 die Summe 



2 y »7— 1 



-^1 =^^ F{im,s,s] .«(m). (6) 



s= 1 



Ist endlich in (a'4) 



2X = Z, 



so wird die Gleichung (5') zu: 



4w =y'- = Y' (5'") 



und wegen der Einschränkung 



Y—Z>0 



tritt nun die Summe 



