über die zahlentheoretischen Formehi Lioiiville's. 183 



genügt. Unter dieser Voraussetzung, und mit Beachtung der Kon- 

 gruenz 



-J- (y + 3) = 2"" d" ^ m" (mod 2) 



geht dann die Formel (v) über in die im 8. Artikel von Liouville 

 notierte Gleichung (y): 



^ (_ !)-"-! . o (2«" d" + m, d" - 2 m) = 



m = in'- + •!"■" d" i\ " 



2y^-i (VIII y) 



= aj(m) • ^ a> (V)H, s). 



s = 1,3, . . 



Reduziert man noch die Funktion ^ (j;, y) auf eine ungerade Funktion 

 F {x) ihres ersten Arguments, so ergibt sich die Formel (ß) des 

 7. Artikels in der Form: 



^ (- 1)""- ' • F {T"d" + m) = « (m) -im- F [im). (VII ß) 



1)1= m"i + ■l"-"d" <3" 



Wenn in der Formel [y) 



gesetzt wird, wo f {x, y) wie gewöhnlich eine gerade Funktion beider 

 Variablen bedeutet, so erhält man die Relation (8) des 8. Artikels: 



^ (— 1)"^"-' • (2"" -d" + m)f{2'"' d" + ni, d" - 2 m) = 



m = m'' + '!"■" d" b" 



2V^-1 _ (VIII ö) 



= CO {))i) • ^ im •/ Um, s). 



■s =1,3,.. 



Endlich liefert noch der Ansatz 



0(x,y) = {^Vr^'.F(x,y) 



in dem F (x, y) eine bezügliche beider Argumente ungerade Funktion 

 ist, aus der Formel (y) die Gleichung (a) desselben Artikels : 



b"-\ 

 ^(-1) 2 .F{2'"'d"-^m\8" — 2m) = 



Dl =/«'2 + i"-" d" 6" 



2 VT« — 1 s - 1 



= « (m) (- 1)--^ . ^ (- 1)^" F (Vm, s\ 



(VIII 



1,3,. 



Hiebei ist noch von der Kongruenz 



m' — );/ r= m (2) 

 Gebrauch gemacht worden. 



