184 Ernst Meissner. 



Alle angegebenen Formeln gestatten eine Reihe von mehr oder 

 weniger interessanten Spezialisierungen. 

 Setzt man beispielsweise in (9) 



F {x, tj, z) = X ' y • z 



und bezeichnet man mit t,^ (x) die Summe aller Teiler von st, so er- 

 gibt sich nach einigen Umformungen die ebenfalls von Liouville her- 

 rührende Formel *) 



m l, {m) + 2 ^ {m - 5 s^) l, {m - s'') =-- a (m) • '^^^'!~^^ 



s = 1 



Die Summation ist über alle positiven ganzen Zahlen s auszudehnen, 

 für welche das Argument von t^ nicht null oder negativ wird. 



In diesem Abschnitt treten zwei verschiedene Zerlegungs- 

 gleichungen auf. Die erste lautet 



,H = 2w'2 + cü" . ö". (1) 



w, d" und 8" sind positive ungerade Zahlen, m hat einen festen Wert. 

 Die Zahl m ist positiv, null oder negativ. Über alle Lösungen von 

 (1) ist die Summe 



2 8,=-- 2^% {d" + 2 m, d" — 2 m, 2 m + d" — d") (2) 

 (1) 



zu erstrecken. Es bedeutet hier 3" {'^^ K ^) eine für alle auftretenden 

 Argumentwerte definierte, und den Gleichungen 



3^ (^, y,z) = — g- (— X, ij,z) = % {x, —y, — z) (3) 



gehorchende Funktion. 



Die zweite Zerlegungsgleichung hat die Gestalt 



2 m = m\ + dz • do (4) 



^2 und 62 sind positive Zahlen, und beide ungerade, m^ ist ungerade, 

 positiv oder negativ. Über alle Lösungen (4) ist die Summe 



«2 = ^ 3f (-24^'-), '». , (-^^f^) (5) 



auszudehnen. 



^) Journal de math. pures et app. 2« ser., T. VII, 1862. Extrait d'une lettre de 

 M. Liouville ä M. Beseue. 



