i'ber die zahlentheoretischen Formeln Liouville's 



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Dann gilt, wie hier bewiesen werden soll, die Relation 



2S, = S, (6) 



in allen Fällen. 



In der Summe (2) kann, da die 2 ersten Argumente von ^ un- 

 gerade sind, höchstens das letzte versehwinden. Wir wollen jedoch 

 diesen Fall vorläufig ausschliessen. Ist dann x resp. y eine ungerade, 

 s irgend eine von null verschiedene Zahl, so tritt in (2) das Summen- 

 glied 



^ {x, y, 2 z) 



so oft auf, als die Gleichungen 



d" -{-2 m' = X 

 d" — 2 7«' = y 

 2 m' + d" — ö" = ; 

 m =2m"-^d" 8" 



oder die ihnen gleichwertigen : 



8" = X —2z 



d!' = 2j ^2z 

 2 m' =^ X — y —2z 



2 m = x^^ y- — 4 2^ 



(7) 



(7') 



Lösungen besitzen. Die Lösungen von (7) entsprechen also eindeutig 

 umkehrbar den Lösungen der Gleichung 



X- + ?/- — 4 z-, 



(8) 



(«) 



2 m 

 welche die Ungleichungen 



^' — 2 z > \ 

 ?/ + 2 s > I 

 befriedigen. 



Die letztern kann man in Gruppen von je acht so zusammen- 

 fassen, dass sich die Lösungen einer Gruppe nur durch die Vorzeichen 

 der Grössen x, y, z unterscheiden. Sind X, Y und Z die absoluten 

 Werte der Variablen, so können von den 8 Lösungen einer Gruppe 

 höchstens die folgenden vier die Bedingungen («) erfüllen: 



1) X, Y, Z\ 2) X F, — Z; 3) X — F, Z\ 4) — X, F, Z. 



Jene nehmen dann der Reihe nach die Form an: 



X 

 Y 



2Z>^\ X+2Z>01 X-2Z>01 



2Z>0j'^''^' F-2Z>0) '^''^^ -Y-v2Z>^\^'^ 



— X-\-2Z>0\ 

 F — 2 Z > I 



