186 Ernst Meissner. 



Durch die Gleichungen (7') erhält man zu jeder solchen Lösung eine 

 Zerlegung (1), und damit in 2 iSg ein Glied 



± Q (X, Y,±2Z) 

 zuseordnet, und zwar erzeugt 



eine Lösung («i) den Term ö" (^» ^' 2^) 



„ («3) . „ 5'(X,-r, 2Z) = ^(X,Y,-2Z) 

 « («4) . . 5(-X,F,-2Z) = -0^(X,r,-2Z) 



(9) 



Aber mit den Bedingungen («4) sind gleichzeitig auch die Forderungen 

 («o) befriedigt; eine («J erfüllende Lösung erzeugt also nach (9) 

 denselben Term in So zweimal, aber mit verschiedenen Vorzeichen, 

 und kann daher weggelassen werden. Die Bedingungen (0:2) und («4) 

 dürfen also ersetzt werden durch die engern : 



X+2^> ] 

 Y~2Z>Q («;). 

 X— 2Z> J 



Die erste davon ist von selbst erfüllt. In der letzten ist die linke 

 Seite ungerade, ein Gleichheitszeichen also unmöglich. Eine Lösung 

 («2) erzeugt das Glied 



5' (X, F, - 2 Z). 



Da die Bedingungen («„) und («g) in die eine Ungleichung 



X - 2 Z > 



zusammengefasst werden können, und diese wieder mit («j) identisch 

 ist, so ergibt sich endlich 



2 S[ = 2^' [^ (X, Y, 2 Z) 4- % (X, F, - 2 Z) }, (10) 



wo die Summe über alle Lösungen von 



2 m ^ X' + Y" - 4.Z^ (10') 



mit der Bedingung 



X— 2^>0 * (10") 



auszudehnen ist, und wo der Akzent andeuten soll, dass die Glieder 

 mit verschwindendem 3. Argument unterdrückt worden sind. 



Nun diskutieren wir in gleicher Weise die Summe aSV 



Aus (4) folgt, dass 



^2 "^ ^2 (mod 4), 

 dass also -^— ; — - = x eine ungerade Zahl ist. Setzen wir 



