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(11) 

 di — d'2 = 4 s J 



also 



"«1 = y 1 



(11') 



so ist ir; wie y eine ungerade Zahl, und z ist sicher ganz. Wir wollen 

 einstweilen aber auch annehmen, z sei nicht null. Die Gleichung (4) 

 wird nun zu 



2 m = if2 _|_ y2 _ 4 ^2^ (^g>) 



d. h. geht in die Gleichung (8) über; umgekehrt entspricht jeder 

 Lösung von (8), für die 



x±2z> (12) 



eine Lösung von (4), die durch die Gleichungen (11') berechnet werden 

 kann. Von den 8 Lösungen einer Gruppe der oben diskutierten 

 Gleichung (8) können 4 die Bedingungen (12) nie erfüllen. 

 Für die 4 übrigen, nämlich 



1) X, y, Z; 2) X, r, - Z; 3) X, - Y, Z; 4) X, - Y, - Z 



wird (12) in allen Fällen zu 



X-2Z>0. (12') 



Einer Lösung 1) ... 4) entspricht wegen (11') je eine Zerlegung (4) 

 und damit ein Glied in 80 eindeutig, und zwar entsteht 



für eine Lösung 1) der Term % (A^, Y, 2 Z) 



» „ « 2) „ „ 3- (^^ Y, — 2Z) 



» » » 3) „ „ % {X, Y, — 2 Z) 



. „ « 4) „ „ ^'{X^Y, 2Z) 



Daher wird, wenn wieder die Glieder mit verschwindendem letzten 

 Argument unterdrückt werden, die Summe ^'2 zu: 



'^X = 2 ^' {5 (X, Y, 2 Z) + 0= (X, F, - 2 Z)}, 



wobei über alle Lösungen von (10') mit der Bedingung (10") zu 

 summieren ist. 



Vergleicht man mit dem unter (10) erhaltenen Resultat, so folgt 



2 .9; = S:^ (13). 



und es bleibt nur noch der Nachweis zu leisten, dass auch die Glieder 



