über die zahlentlieoretischen Formeln Liouville's. 18^ 



Wenn man in Übereinstimmung mit den Bedingungen (3) die Funktion 

 F {x, //, 2 2), die bezüglich aller Argumente ungerade ist, an Stelle 

 der allgemeinern Funktion 3" 0^'» Ui 2 z) in (A) einführt, so heben sich 

 auf der rechten Seite die Glieder weg, welche zu entgegengesetzt 

 gleichen Werten von m^ gehören. Da m^ nie null ist, verschwindet 

 somit die Summe rechter Hand, und es ergibt sich die Formel {%) 

 des 12. Artikels der «formules generales»: 



_^F{d" + 2 m, d" —2 m, 2 m + d" — ö") = 0. (XII Z). 



11/ = im'- + d" ■ f)" 



Bedeutet / {u, v) eine gerade Funktion beider Veränderlichen u 

 und r, so ist auch der Ansatz 



5 {x, y,2z)^ (- lf-^ + V(^, 2^-) 



mit den Bedingungen (3) verträglich. Führt man ihn in (A) ein, 

 und beachtet man, dass 



d, ^ dg (mod 4), 



so ergibt sich die Gleichung : 



i" -1 

 ^(—1) 2 .f(d"-2m,2d"-^4:m) = 



Dies ist die Formel (tz) des Artikels 11, die sich auch leicht 

 direkt beweisen lässt. 



Reduziert man f{u, v) auf das 1. Argument u, so erhält man 



^ (- i)'^'/(ö"- 2 »0 = ^ (- ly"^ ./K) 



oder mit Anwendung der schon früher gebrauchten Bezeichnung 



11/2 = (I2 'h 



2 (- 1)'"'^ ' / (ö"- 2 m) = ^/(»O . Q K). (XI 



Diese Formel erscheint unter (^) im 11. Artikel. 4 q {m.^ be- 

 deutet aber die Anzahl der Darstellungen von »«., durch die Form 



ir 4- v, 



