190 Ernst Meissner. 



und da von den Zahlen ?f und v die eine gerade, die andere ungerade 

 ist, so kann man die Summe 



auch in die Gestalt 



2/(0 



bringen, wenn man über alle Lösungen der Gleichung 



ir\ -2 1 •'' 1 ^ 



2 m = ^ + «■^ -{- i> 



summiert, wobei i und i^ positive ungerade Worte haben, p irgend 

 «ine gerade Zahl ist. 



An Stelle der Formel (|) kann daher auch die gleichwertige 

 Formel (o) des 11. Artikels treten: 



2 (- l)^'-/(<5" -2m') =^/(0. (XI o) 



m = %m'- + d"b" 2 m = i' + /'2 + p^ 



Wenn man den mit den Bedingungen (3) verträglichen Ansatz 

 macht : 



%{x,y,2z)=F{x), 



worin F (x) wie gewöhnlich eine ungerade Funktion ist, so ergibt 

 die Formel (Aj) die neue Gleichung: 



m = 2»«' 2 + rf" ö" 2 w^ = VI- + ch 0-2 \-^2/ 



v/i > 



welche auch direkt bewiesen worden ist.^) 



Bezeichnet man mit F {x) diejenige ungerade Funktion, die für 

 positive Argumente den Wert -)- 1, für negative den Wert ( — 1) 

 besitzt; ferner mit 



Li {d"-i- 2 m > 0) resp. L, (rf"+ 2 m < 0) 

 die Anzahl der Lösungen der Gleichung 



m = 2 m'^ + d" d" , 

 für welche d"-^ 2 m > resp. d" -\- 2 m < 



ist, und endlich mit L^ die Gesamtanzahl der Lösungen von 



2 m = ml -\- (?2 ^2 (^'h -^ 0), 

 so ergibt sich aus (^2) die Relation: 



') H. J. S. Smith. CoUected papers. Report on the theory of numbers. 

 Art. 136, p. 348. 



