über die zahlentheoretischen Formehi Liouville's. 191 



L, {(t'+ 2 m >0) — L, (d"-^ 2 m < 0) = L, (A3) 



welche beim arithmetischen Beweis einer Klassenzahlrelation eine 

 Rolle spielt^). 



§ 6. 



Es sei m eine positive ganze Zahl, die die Kongruenz 



m = 3 (mod 4) (1) 



erfüllt. Sie soll nach den Gleichungen 



m = m'l + 2 (^2 • ög (2) 



w = 4 /»'2-f-fZ" ö" (3) 



zerlegt werden, do, do, d" und d" sind positive ungerade Zahlen; 

 Wj ist auch ungerade, aber positiv oder negativ; m' ist irgend eine 

 ganze Zahl, die Null eingeschlossen. Ferner sei in (3) immer 



d"<d". (4) 



Die Funktion g^ {x, y, z) sei für alle auftretenden Werte ihrer 

 Argumente definiert, und genüge den Gleichungen : 



^ (x, y,z) = ^^ (— X, y,z) = Q (./", — y, z) = — Q {x, y, — s). (5) 



Man bilde die über alle Lösungen von (2) auszudehnende Summe 



^^1=^1^ (.(k — nh ' ^2 + »^1 — (k, »?i ) (6) 



(1) 



und die über die Gleichung (3) zu erstreckenden Ausdrücke 



, 8"~d" 



(3) 



Ul"-h8" -8"+d" 



(3) 



^2 =^ 5 (- 2 m', ^V^' ^"+ 2 m) (7) 



(3) 



S, =2 % f^, -'"+"" , -d"-2 m). (7-) 



Es soll gezeigt werden, dass unter den erwähnten Voraus- 

 setzungen die Gleichung gilt: 



Si = So + S, (B) 



Aus (3) folgt wegen (1) zunächst, dass 



d"-^d"^0 (4) 



') Vergl. Journal de math., ser. 2, T. 7, 1862, p. 46 und § 10 dieser Arbeit- 



