über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 



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Sie entsprechen mithin eindeutig umkehrbar denjenigen Lösungen 

 von (9), welche die Ungleichungen 



ß ^ 2x-}- z> \ 



C= y 



>0J 



(i^) 



befriedigen. 



In 8^ endlich tritt 3" (2 ^i y, z) immer dann auf, wenn die 

 Relationen 



d" + d" = 4 ,/; ) 



— 8"^d" =2y 



— d" — 2 m = z 

 m ■= 4 m"^ -f- d" d" 



erfüllt werden. Aus ihnen folgt 



d" = 2 x -f- y 

 d" =2x — y 



2 m = — 2 X — y — z 



m = ^ X- -^' -^ xy -\- 4: X z -\- 2y z 



und sie entsprechen somit ein-eindeutig denjenigen Lösungen der 

 Gleichung (9), für welche 



A = 2x 

 C= y 



y>0 

 <0 



(r) 



ist. Jeder Lösung (a), (ß) oder {y) der Gleichung (9) entspricht 

 ein Glied 



+ ^{2x,y,z) 



in den resp. Summen .Sj, So oder 63. 



Die Grössen A, B und (J sind ungerade. Die Bedingungen («) 

 können daher zerlegt werden in die zwei folgenden, nie gleichzeitig 

 erfüllten Systeme 



^ > 0, ß > 0, 00} («,) .4 > 0, 5 >0, C < } («2). 



Analog zerlegt man die Forderungen (/3) resp. {y) in die folgenden: 



J. > 0, 5 > 0, C > } (/3J .4 < 0, 5 > 0, C > } (/32) 



resp. 



^ > 0, 5 > 0, r; < ) (>/0 .4 > 0, £ < 0, < 1 (y,). 



Da die Systeme (/3,) und («,), sowie die Systeme (a,) und (yj iden- 

 tisch sind, so erzeugen sie in der Gleichung 



Ol = <S'2 H- 'S'3 

 Vierteljahrsschrilt <1. Natnrl'. Ges. Zürich. Jahrg. 52. 1907. 



(B) 



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