über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. l'.t.") 



Bezeichnen wir wie früher mit q {ni) die Summe : 



d ■ d = 7>l 



und ferner dieselbe Summe mit q (rn), wenn sie nur ijber diejenigen 

 Teiler von m erstreckt wird, die kleiner sind als ihre konjugierten, 

 so ergibt sich aus (B) unter der Annahme 



m = 3 (mod 8) 



nach einigeü leichten Umformungen die Gleichung: 



/ = 1, 3, . . . ^ " ^ K = 1, 2, . . . 



Die Öummatiou ist links über alle positiven ungeraden Zahlen z, 

 rechts über alle positiven Zahlen % auszuführen, für welche die Argu- 

 mente nicht ilull oder negativ werden. Aus dem Ausdruck der linken 

 Seite liest man leicht ab, dass der gemeinsame Wert der beiden 

 Gleichungsseiten der Anzahl der Lösungen der Gleichung 



1)1 = x'^ -{- //"^ + 2- 



in positiven ungeraden Zahlen gleichkommt. Diese Formel ist von 

 Liouville der Formel (B) beigefügt worden. 



§ 7. 



Die positive ungerade Zahl m werde nach den Gleichungen 



m = «2 _L 3 ß2 ^^^ 



4 m = i2 _|_ 3 i2 ^2) 



zerlegt, i und ij bedeuten positiv ungerade, a und ß irgend welche 

 ganze Zahlen. Die Funktion /(./', ?/) sei bezüglich beider Argumente 

 gerade. Über die Lösungen der Gleichung (1) resp. (2) erstrecke 

 man die Summe 



ßi =2f{cc-^Sß,a-ß) (3) 



resp. die Summe 



S2 = 22f{i,i,); (4) 



dann gilt imaner die Relation 



S, = S,. (5) 



