196 Ernst Meissner. 



Da m ungerade ist, so ist von den Zahlen «, ß eine gerade, die 

 andere ungerade. In Si treten also nur ungerade, insbesondere von. 

 null verschiedene Argumente auf. Bedeuten x und y ungerade Zahlen, 

 so tritt / {x, y) jedesmal dann in Si auf, wenn die Gleichungen 



erfüllt sind. Hieraus folgt 



(6> 



Umgekehrt entspricht jeder Lösung der Gleichung 



4 m = X- + 3 ?/2 (6') 



eindeutig eine solche von (1), sobald 



X — y = 0, (mod. 4) (7) 



und damit in S^ der Term / {x, y). 



Die Lösungen von (6') zerfallen in Gruppen von vieren. Ist 

 X, y irgend eine Lösung, so sind die vier Lösungen ihrer Gruppe durch 



±x, ±y 



gegeben. Die absoluten Werte von x und y seien i und ?i. Die 

 Kongruenz (7) ist immer von zweien, und nur von zwei Lösungen 

 einer Gruppe erfüllt, und diesen korrespondiert in .S*! der Term 



zweimal genommen. Die Summe 8^ wird also zu 



wobei über alle Lösungen von (6') in positiven ungeraden Zahlen zu 

 summieren ist. Dies ist aber genau die Summe 82. Es gilt also 

 die Relation 



Si = 82 



oder ^ / (« + 3 /3, « - ß) = 2 ^ /(/, i,), 



iie = a- + 3ß^ A)u = r + 3 / J 



welche ebenfalls von Liouville herrührt ^). 



') Journal de math., T. IS, .ser. -2 (1878). 



