über die zahlentheoretischeu Formeln Liouville's. 197 



§ 8. 



Es bedeute in diesem Paragraphen m eine positive, feste Zahl, 

 •die der Kongruenz 



m = 1 (4) (1) 



genügt. Man zerlege sie nach der Gleichung 



m = 4:m"'-hd" ö", (2) 



wobei ni eine beliebige ganze Zahl bedeutet, d" und d" aber positiv 

 und ungerade sein sollen. 



Unter q) (li) soll ferner eine für alle auftretenden (immer ganz- 

 zahligen) Argumentwerte definierte, im übrigen ganz willkürliche 

 Funktion verstanden werden. 



Die Summe 



S =-^ ( -1)'"' -''-^■cp (m'+ '^) (3) 



(2) 



ist über sämtliche Lösungen der Gleichung (2) zu erstrecken. 

 Es soll nun bewiesen werden, dass 



* im — 1 



S=<o (m) . (— 1) ^T— • V m ■ cp (0) (4) 



ist, wenn wie früher co (»i) = 1 oder — - ist, je nachdem m eine 

 Quadratzahl ist, oder nicht. 



Wir erhalten zunächst für die Summen 8q derjenigen Glieder in 

 •(3), für welche das Argument von (p den Wert null hat, den Ausdruck : 



'^%=^'(-ir'^^-9'(o), 



wobei die Summation auszudehnen ist über die gleichzeitig die 

 'Gleichungen 



= 4 m'^ + d" • ö" I 



J" Sil \ 



m 



' , d"-8' . 



^befriedigenden Wertekombinationen 



m' , d" , ö". 

 Eliminiert man m aus denselben, so ergibt sich 



»'^ = (-1—) (^) 



woraus hervorgeht, dass Sq = 0, wenn « (m) = 0. Wenn dagegen 

 o {m) — 1 ist, so wird 



