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'So = qP (0) -^ l- 1)-^ = 9) (0) • (- 1)-^" • Z 



wo Z die Anzahl der Zerlegungen (5) bedeutet. Da d" der Reihe 

 nach alle ungeraden Zahlen von 1 bis (2 \ m — 1) durchlaufen kann, 

 und ö" dieselben '\ ni Zahlen in umgekehrter Reihenfolge durchläuft, 

 so ist Z = I m. Daher gilt allgemein die Gleichung 



^0 = « {ni) ■ (- l)-2- . im . q> (0) (4') 



und der Vergleich mit (4) lehrt, dass man um jene Formel zu be- 

 weisen, nur noch zu zeigen hat, dass sich in S alle Glieder mit von 

 null verschiedenem Argument wegheben. 



Fasst man alle Glieder, in denen das Argument von q) gleich x 

 ist, zusammen in den Ausdruck 



so ist somit zu zeigen, dass 



^« = 0, . ' (6) 



sobald % nicht verschwindet. 



Zunächst weisen wir nach, dass die Zahl a auf positive Werte 

 beschränkt werden darf. 



Es sei (m, d'\ 8") irgend eine Lösung der Gleichung (2), für die 



I . d" — 8" I ^ 



Wegen (1) ist d" = 8" (4) (7) 



und dieser Ausdruck daher immer ganzzahlig. 



Ferner ist ( — m, ö", d") eine der vorigen eindeutig unkehrbar 

 zugeordnete Lösung von (2), und zwar ist sie von jener verschieden, 

 weil aus der Gleichheit der Lösungen x = folgen würde, was un- 

 serer Voraussetzung widerstreitet. 



Die Lösung (m', d" , 8") erzeugt in S aber das Glied 



(-l)-' + ^g.e/0, 

 die Lösung ( — m , 8" , d") wegen (7) aber das Glied 



(- 1)- '"' +'^.fp[- z) = (_ 1)'«' + ^ • 9^ (- ^), 

 woraus folgt, dass S = S_ 



