über die zahleutheoretischen Formeln Liüuville's. 199 



ist. Wenn also 8^ null ist, verschwindet auch S_^^ und wir dürfen 

 daher a als positive ganze Zahl voraussetzen. 

 Nach Definition ist 



s. = ^{-^y"-''^ (8) 



wo die Summe über die gemeinsamen Lösungen von 



m = 4 m"^ -h d"' d"\ 



d"-8"_^ • (9) 



m 



" I 



auszudehnen ist. Durch Elimination von m wird 



m = 4 x^ - 2 X {d" - ö") + if^)'' (9') 



und 8^ wird zu 



^^=^(-1)«+^^^ + ^. (8') 



(9') 



(10) 



(10') 



Nun substituieren wir: 



d" -\-8"= 2u\ 

 d" — 8" = 2g\' 

 Es wird dann 



d" = u -^ g \ 

 ö"=ic — g J 



und die den Grrössen d", d" auferlegten Bedingungen werden zu 



u >g; u> — g \ . 



tt^l (mod2);^ = 0(2)) '^ ^ 



die Gleichung (9') geht über in 



und es wird 8^ gleich der über alle Lösungen von (12) mit den Be- 

 dingungen (11) zu erstreckenden Summe 



'5« = (-l)"-^(-l)^. (13) 



Nun sei {ti, g) eine den Forderungen (11) genügende Lösung der 

 Gleichung (12). Wir machen den Ansatz 



u' = — it -\~ 4 % • a, (14) 



wo a eine ganze Zahl bedeutet. Soll (ii, g') eine Lösung der Gleichung 

 (12) sein, so bestimmt sich g' aus der Gleichung 



?;« = 4 x^ — 4 3C • g'-^ u^ — 8 % u a -\- 16 x- a'^, 



oder wegen (12) aus 



= 4 X • (g — (/')..— 8 X u a + 16 K^-cr. (14') 



