200 Ernst Meissner. 



Da X =1= 0, ergibt sich hieraus 



g = g — 2 M • a -h 4 X er. (14') 



Man erhält somit vermittelst (14) und (14') zu der Lösung {u, g) 

 von (12) nach Fixierung der Zahl a die Lösung («', g), und es be- 

 rechnen sich u und g rückwärts aus {ii , g) nach den Formeln: 



u = — n'+4xf/. I 



(/ = — g — 2 ?^ • a + 4 ic • a^ I ^ ' 



woraus hervorgeht, dass die Beziehung der beiden Lösungen auf 

 einander eindeutig umkehrbar ist. 

 Ferner ist wegen (14) 



■l( — 1 7t' —\ 



(- 1)^ = - (- 1)~^. 



Wenn daher die Lösung («', g) die Bedingungen (11) erfüllt, so 

 zerstören sich die in (13) auftretenden Glieder, welche den Lösungen 

 (m, g) resp. {ii g) entsprechen. 



Nun zeigen wir, dass über den bis jetzt willkürlichen ganzzahligen 

 Parameter a in eindeutiger Weise so verfügt werden kann, dass die 

 Lösung {ii\ g) die Forderungen (11) befriedigt. Dann zerstören sich 

 nach vorigem sämtliche Glieder in (13) paarweise, es ist S^ = 0, und 

 der Beweis unserer Formel erledigt. 



Da a eine ganze Zahl bedeutet, so sind die Bedingungen 



u ^ 1 (mod 2) 

 g = (mod 2) 



in (11) immer erfüllt. Die zwei übrigen Ungleichungen werden zu 

 folgenden : 



(jp («) = — ?( + 4 X • a — ^ — 4 X a- H- 2 a « > I , ^- 



i/^ (a) = — w + 4 X • a 4- (/ + 4 jc a- — 2 a ?f > ) ' ' 



Betrachtet man in diesen Ausdrücken a als Variable, so sind die 

 Wurzeln der Gleichung 



qp («) = 

 gleich den Ausdrücken 



«1 = Tz-^ — ; "2 = TZ ; (1'^ 



wobei wir unter | m immer den positiven Wert der Wurzel ver- 

 stehen wollen. 



Unter derselben Voraussetzung ergeben sich die Wurzeln ßj und 

 ^2 von ip (a) = 



zu: Si, = 47--—; ^2 = 4-, (18) 



