über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 201 



Ferner ergeben sich noch die Gleichungen 



«, = ß, ^- 1 ; Wo = Sl.2 + 1, (19) 



sowie die Ungleichungen 



"i-«2=-^>0; il,-Sl, = l^>o. (19') 



Die Funktion (p (li) ist im Innern des Intervalles (w,. • • • "i) positiv, 

 und nur dort; ebenso ist i/.» (u) grösser als null nur ausserhalb des 

 Intervalles (ii, • • • ^i)^ dort aber immer. 



Xunmehr unterscheiden wir zwei Fälle, die eine gesonderte 

 Behandlung erfordern. 



1. Fall. Es sei ]'^> 2 x. 



Dann ergibt sich aus (^17) und (18): 



O] > iil > 02 > ^2- 



q) (ii) und (ii) (ii) sind dann gleichzeitig positiv im Innern des Inter- 

 valles 



{Sil . . . Wi) 



und nur dort. Nach (19) ist die Länge desselben gleich der Einheit, 

 und es gibt daher eine eindeutig bestimmte ganze Zahl a, für die 

 gleichzeitig 



cp (a)>0 i^ (a) > 



wird, wie (16) es verlangt, vorausgesetzt, dass die Grenzen Sl^ und co^ 

 keine ganzen Zahlen seien. Dass dies nie der Fall ist, können wir 

 leicht nachweisen. 



Nehmen wir zu diesem Ende an, ß, sei gleich der ganzen Zahl z. 

 Nach (18) ist dann 



M — 2>t + ^m 



4h 



woraus hervorgeht, dass in diesem Fall m das Quadrat einer (un- 

 geraden) ganzen Zahl ^ sein muss. Dann aber wird 



m 



Aus 



folgt aber (-^^) (^ - n) = 2 (x - g), 



oder (2 ^ -fl) [(2 2 -h 1) . 2 X — 2 w] = 2 (x — g\ 



