über die zahleiitheoretischen Formeln Liouville's. 203 



§ 9. 



Die von P. Pepin bewiesenen Liouville'schen Formeln ') redu- 

 zieren sich im wesentlichen auf vier, welche wir hier der Vollständig- 

 keit wegen zusammenstellen wollen. Zugleich wollen wir zeigen, 

 dass die Formel (d) des fünften Artikels, für die Pepin einen eigenen 

 Beweis erbringt (loc. cit.), in der allgemeineren Formel {/) desselben 

 Artikels enthalten ist. 



1) Es sei m eine positive ungerade, a irgend eine positive Zahl. 

 Wie immer bedeute / (x, y) eine bezüglich beider Variabler gerade, 

 und für alle auftretenden Argumente definierte Funktion. 



Die Summe 



^ = ^ {/ (f^' - f^"' ö' + ^") - / (ß' + ^"' ^^' - ^^") } 

 erstrecken wir über alle verschiedenen Lösungen der Gleichung 



2° m = (V ö' -{- d" d" 



in positiven ungeraden Zahlen. Des weitern betrachten wir die 

 Zerlegungen der Zahl ni in zwei positive (ungerade) Faktoren d und d, 

 und dehnen die Summe 



S, = 2«-^ . ^ d [/(O, 2^0 - f(2^d, 0)] 



über sämtliche Lösungen von 



m = d ' d aus. 



Es ergibt sich dann die erste der vier erwähnten Beziehungen 

 in der Form 



S =-- S, oder 



2 {fiel' - d", 6' + 8") -f[ß'-h 8% d' - d")} = 



= 2--'2.d {/(O, 2«d) -f{rd, 0)}. (II b) 



Dies ist die Gleichung (b) des zweiten Artikels, aus welcher sich 

 alle übrigen Formeln der beiden ersten Artikel von Liouville ergeben-). 



2) Sei/(i(;, y) definiert wie vorhin, m sei irgend eine positive Zahl. 

 Über sämtliche Lösungen der Gleichung 



m = d' ' d' — d" • d" (1> 



in irgend welchen positiven ganzen Zahlen d', d', d", d" erstrecken 

 wir die Summe 



') Journal de math., ser. 4, T. IV, pg. 83. 

 -) Journal de math., T. III, pg. 193. 



