über die zahlentheoretischen Formeln Liouville's. 205- 



eine Vertauschimg von m' mit m". Nehmen wir eine solche immer 

 dann vor, wenn m' gerade ist, so ändert sich sonach in S nichts. 

 Man kann also die Summe S statt über die Lösungen von (1) zwei- 

 mal über die Lösungen der Gleichung 



m = m' -\- m" = d' ö' -\- d" d" m' = 1 (2) 



ausdehnen, in welcher di' nunmehr nur ungerade, m" also nur gerade 

 positive Zahlen bedeutet. Extrahieren wir aus ni" den ungeraden 

 Faktor, indem wir setzen 



m" = 2"- . m^ = 2"'^ • f/g • ^2 »h = 1 iß) 



und schreiben wir für die ungeraden Faktoren d' und ö' von m' in 

 der Folge fZ, resp. öj, so ergibt sich die neue Zerlegungsgleichung 



m = d, ' ö, + 2"- d^ ' ^2 (2) 



und die Summe S ist zweimal über die Lösungen dieser Gleichung 

 zu erstrecken. 



Nun definieren wir 



/ (*', y) = 0, 



wenn das zweite Argument y eine ungerade Zahl ist. Für gerade 

 Werte ij machen wir keine neue Voraussetzung. 



Hieraus folgt dann, dass wir bloss verschwindende Glieder ver- 

 nachlässigen, wenn wir .S' nur über diejenigen Zerlegungen ausdehnen,, 

 für welche 



ö' + 8" = 0. (mod 2) 



Da aber 



ist. so folgt, dass wir 



Ö' = dl = 1 (mod 2) 



Ö" = ö, - 1 (mod 2) 



setzen dürfen, was die neue Gleichung 



d-' = 2«^ • d^ 



zur Folge hat. Es wird dann die Summe S zu 



^S" - 2 ^ {/(fZi - 2-^ d„ 8, + 8,) -f{d, + 2«^ d„ d, ~8,)}, (3). 



welche Summe einfach über die Lösungen von (2) auszudehnen ist. 

 In der Summe «S'i der Formel (f) fallen, da d Teiler von m,. 

 also ungerade ist, alle Glieder von der Form 



f (0, d) 

 weg, und es wird *S'i zu 



S\^-^{d-l)f{d,i)). (4> 



