über die zahlentheoretischen Forniehi Liouville's. 207 



in welchen mit Ausnahme der beliebigen positiven Zahl a^ alle Grössen 

 positiv und ungerade sind. 



Bezeichnet 5 i^'^ V) eine für alle auftretenden Werte der Argu- 

 mente definierte Funktion, die die Bedingungen 



5 U-, y) = —%• (- J-', ?/) = H- ly {X, -ij); 5 (0, ij) = 



genügt, so kann die Hauptformel des 18. Artikels ') in der Gestalt 

 notiert werden : 



d" - 1 



2 y~ 1)^' " {S (^' + d% d' - d") 4- & {d' - d% ö' + d")} - 



<V2-i (XVIII) 



(3) (1) 



wobei die erste Summe rechter Hand wie früher über die Lösungen von 



m = d- ö (3) 



in positiven Zahlen zu erstrecken ist. 



Es sei nun ii (x^y) eine für sämtliche zur Anwendung gelangenden 

 Argumentwerte definierte Funktion, für welche 



^ {X, y) = ii}{ij,x) = ip (— X, ij) = t (x, — y). 



Dann stellt sich die Hauptformel des Artikels XVH-) dar in der 

 Gleichung 



ö' - 1 (?" - 1 



+ 



^(-1) '^ 2 .^,(rf'-rf.",ö' + d") = 



(-' (XVII) 



= 2 {-l)~^t (0, 2 rf) + 4^\- 1)"^ "" ^^ . 1^ (2 d„ 2^^^ + Vg. 



(Ol <!) 



Die Summation ist jeweilen über die unter dem Summenzeichen an- 

 gedeutete Zerlegungsgleichung auszudehnen. 



Hiemit ist die Zusammenstellung der Formeln vollendet. Wie 

 man aus den Gleichungen (II b) und (V f) sämtliche übrigen Relationen 

 der ersten fünf Liouville'schen Artikel, sowie aus (XVHI) die Formel 

 (L) des sechsten Artikels herleiten kann, ist teils bei Liouville, teils 

 bei Pepin nachzulesen, teils sind diese Herleitungen so einfach, dass 

 sie sich ohne weiteres darbieten. 



M Journal de math., ^e g^i.,^ t_ x, 1865, pg. 169. 

 -) .Journal de math., 2^ ser., T. X, pg. 135. 



