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§ 10. 



Um die Anwendbarkeit Liouvillescher Formeln auf zahlentheo- 

 retische Probleme zu demonstrieren, wollen wir zum Schluss mit 

 ihrer Hülfe eine der von Kronecker zuerst aufgestellten Klassen- 

 zahlrelationen auf arithmetischem Wege herleiten. Wir stützen uns 

 dabei auf die Angaben, welche Liouville^) über den einzuschlagenden 

 Weg gemacht hat, und beweisen zunächst einen von ihm ausge- 

 sprochenen Hülfssatz, welcher für einen einfachem Fall von Hermite^) 

 gegeben worden ist. 



Sei n eine positive Zahl von der Form 



r^ = 4v-{-l. (1) 



Die Zahlen d2, 82 und d seien auch positiv, die erstem zwei 

 ungerade. F {11) sei die Anzahl der Klassen quadratischer Formen 

 von der Determinante (— )i) und positiven äussern Koeffizienten, von 

 denen wenigstens einer ungerade sein soll. 



Dann gilt der Satz: 



Ist 31 die Anzahl der Lösungen der Gleichung 



n = d^ • ö., + 2 ^ (^2 + Ö2), (2) 



t, (h) die Anzahl der Divisoren von n, und hat a {11) die frühere Be- 

 deutung, so besteht die Relation : 



F (>/) = 51 + y {e {n) -h- CO {n)]' (3) 



Aus (2) und (1) folgt zunächst 



^2 ii; <5o (mod 4). 



^) Kronecker: Grelle, Bd. 57, pag. 248; Journ. de math., ser. 2, T. V, pag. 289. 

 Über Klassenzalilrelationen vergleiche man ferner die Arbeiten von: 



Gi erster: Über Relationen zwischen Klassenzahlen etc., Math. Ann., Bde. XVII. 

 XXI u. XXII und die dort gegebenen Zitate, ferner die unter demselben Titel er- 

 schienene Abhandlung von : 



A. Hurwitz in den math. Ann., Bd. XXV. sowie die zusammenfassende Dar- 

 stellung in : 



Klein-Fricke, Theorie der ellipt. Modulfunktionen, Bd. II, Leipzig 1892. 



H. J. S. Smith in seinem Report on the theory of numbers, Art. 136, leitet 

 eine zu der im Text gegebenen verwandte Relation ab, und benutzt dabei nur die 

 auf rein arithmetischer Basis beruhenden Liouville'schen Formeln, im Gegensatz zu 

 den übrigen Autoren, die sich durchwegs der Theorie der Modulfunktionen, also 

 hoch transzendenter Hülfsmittel bedienen. 



^) Liouville : Journal de math., ser. 2, T. 7, pag. 46. 



^) Hermite: Gom])tes rendus. Vol. .53, 1861; Journal de math., ser. 2. T. V, 

 pag. 32, {L 



