über die zahlentheoretischen Formehi Lioiiville's. 209 



Setzt man (^2 H- ög = 2 u| 



so bedeutet u eine ungerade, s irgend eine ganze Zahl und weil 



do = u-i-2z>0 



ö, = w ^ 2 ^ > 



so sind z und u durch die Ungleichung 



u>\2z\ (5) 



mit einander verbunden. Die Gleichung (2) geht nun über in 



u (u + 4 fO - 4 3^ = w, (2') 



aus welcher sich der Beweis des Satzes ergibt. 



1. Jeder Lösung von (2'), für die 



\4:Z\<U (1) 



ist, ordnen wir die Form 



(w, 2 z, u + 4 d) (6) 



zu. Sie hat die Determinante ( — u), und ist wegen 



2\2 z\<u<u -\- id 



reduziert. Da d alle positiven, u alle positiven ungeraden mit (2') 

 verträglichen Werte annehmen darf, so sind durch (6) alle reduzierten 

 Formen dargestellt, deren Determinante = — u, deren mittlerer 

 Koeffizient gerade oder null ist, und deren äussere Koeffizienten 

 positiv, ungerade und ungleich sind. Ihre Anzahl, die mit der Zahl 

 der Lösungen (I) übereinstimmt, sei ^, . 



2. Nun ordnen wir ferner den Lösungen von (2'), für welche 



/ 4 s > u 



ist, die quadratischen Formen 



{II, u ~2z,2 u ~ 4 z- + 4 d) (6') 



zu, deren Determinante ( — >^) ist. Aus 



<u; 2z< u<4:z 

 folgt 



(Xu; 0<u — 2z; 0<2u^id — 4:Z; 

 und 



« — 2 (u — 2 s) > ; (2 M — 4 5 + 4 fO - 2 («f — 2 3) = 4 fZ > 0. 



Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 52. 1907. l^- 



